下面使用的SELECT和PROJECT运算符的定义可以在“关系数据库设计和实现”的第6章中找到，第4版，Harrington，Jan L.
PROJECT（resp.RESTRICT）的SQL等价物是SELECT（相应的WHERE，带有谓词以减少关系中元素的数量）。在您提出的表示法中（感谢您这样做）让我们使用b_pred将谓词“pred”应用于关系以减少其元素。然后a（b_pred（关系））= b_pred（a（关系））iff b_pred不消除支持谓词“pred”的列。此外，如果b_pred使用由a删除的列，则RHS表达式不正确。
问题：首先执行RESTRICT操作时结果是否始终正确？有一个正式的证据就可以了。
后续行动：为什么我们会考虑相反的操作顺序而对所有人感兴趣？我猜测性能是唯一可能的原因，但我不确定。
感谢您的回复！
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可用于更改维护表达式语义的限制和投影顺序的两个规则如下：
π Y （σΦX（E））=σΦ X （π Y （E）），如果X⊆Y
否则，如果条件涉及属性X⊈Y：
π Y （σΦX（E））=π Y （σ<子>Φ的 X 的（π<子>的 XY 的（E）））
其中E是与包含 X 和 Y ，π X 的一组属性产生关系的任何关系表达式/ sub>（E）是E在属性集 X 上的投影，σΦX（E）是对E的限制，条件ΦX超过集合属性X。
这两个规则是等价规则，因此它们可以在两个方向上应用。通常，如果可能，优化程序会尝试在任何其他操作之前应用限制，而不是在连接之前应用投影。
<强>加
第一条规则说，如果你与属性Z =Y∪W有关系，对Y的属性子集进行限制，然后将结果投影到Y，相当于首先执行投影，那么限制。
这种等价可以用以下方式证明。
给定E与属性Z =Y∪W的关系，限制的定义是：
σΦX（E）= {t | t∈E∧X⊆Z∧ΦX（t）}
即E的所有元组的集合，使得ΦX（t）为真。
投影的定义是：
π Y （E）= {t 1 | t∈E∧Y⊆Z∧t 1 = t [Y]}
这是通过对E的每个元组t考虑仅包含t的属性Y的（子）元组而获得的元组集。
所以，
π Y （σΦX（E））=π Y （E'）= {t 1 | t∈E'∧Y⊆Z∧t 1 = t [Y]}
其中E'=σΦX（E）= {t | t∈E∧X⊆Z∧ΦX（t）}
结合这两个公式，我们得到：
π Y （σΦX（E））= {t 1 | t∈E∧X⊆Z∧ΦX（t）∧Y⊆Z∧t 1 = t [Y]}
但是既然我们知道X⊆Y，我们可以将公式重写为：
π Y （σΦX（E））= {t 1 | t∈E∧X⊆Y⊆Z∧ΦX（t）∧t 1 = t [Y]} [1]
从另一个词开始，
σΦ X （π
其中E''=π Y （E）= {t 1 | t∈E∧Y⊆Z∧t 1 = t [Y]}
再次，结合这两个公式并注意到X⊆Y，我们得到：
σΦ X （π Y （E））= {t 1 | t∈E∧X⊆Y⊆Z∧ΦX（t 1 ）∧t 1 = t [Y]} [2]
[1] = [2]如果我们可以证明ΦX（t）=ΦX（t [Y]），这是正确的，因为两个条件同时为真或假，假设条件是关注的只有属性X，它们存在于t和t [Y]中（因为X⊆Y）。
第二条规则说，如果你与属性Z =X∪Y∪W有关系，X - Y≠∅对X的属性进行限制，然后将结果投影到Y上，相当于首先对属性X∪Y执行投影，然后执行限制，最后对属性X执行新投影。
同样在这种情况下，可以通过与上述证据类似的方式进行形式证明，但为简洁起见，此处省略。