Question

我正在学习＆＃34;加权快速联合路径压缩＆＃34;联合/查找结构的算法。 Princeton edu site详细解释了算法。这是Java中的实现：

public class WQUPC {
  private int[] id;
  private int[] sz;
  public WQUPC(int N) {
    id = new int[N];
    sz = new int[N];
    for (int i = 0; i < N; i++) {
      id[i] = i;
      sz[i] = 1;
    }
  }

  int root(int i) {
    while (i != id[i]) {
      id[i] = id[id[i]];
      i = id[i];
    }
    return i;
  }

  boolean connected(int p, int q) { return root(p) == root(q); }

  void union(int p, int q) {
    int i = root(p);
    int j = root(q);
    if (sz[i] < sz[j]) {
      id[i] = j;
      sz[j] += sz[i];
    } else {
      id[j] = i;
      sz[i] += sz[j];
    }
  }
}

但就像网站提到它的表现一样：

定理：从空数据结构开始，任何序列   M union和在N个对象上查找操作的时间为O（N + M lg * N）。

•证明非常困难。

•但算法仍然很简单！

但我仍然对迭代对数lg * n的结果感到好奇。它是如何衍生出来的？有人可以证明它或只是以直观的方式解释它吗？

Answer 1

我记得，证据与在一组搜索中分摊路径压缩的成本有关。浅层搜索很便宜，并且不会产生大量路径压缩的成本;深度搜索会为搜索和路径压缩花费很多，但路径压缩会使后续搜索的平均成本更低。

Answer 2

首先，您的问题有一个小错误：仅路径压缩的复杂性仅为 O（m log（n））（没有迭代日志）。例如，参见Introduction To Algorithms中的练习21-4.4。实际上，你阻止了

    if (sz[i] < sz[j]) {
      id[i] = j;
      sz[j] += sz[i];
    } else {
      id[j] = i;
      sz[i] += sz[j];
    }

按排名结合。

通过秩和路径压缩的联合，可以很容易地证明你使用的表达式（比逆Ackerman更容易）。证据基于三点：

在每个叶根路径上，每个节点的等级都在增加。这实际上依赖于按等级，BTW联合，并且，通过它，它很容易显示。
如果树的根具有等级 r ，则该树至少具有 2 ^r 节点。这可以通过归纳来显示。

基于2.，可以显示

排名 r 的最大节点数最多为 n / 2 ^r 。

其余的证据现在紧接着是对队伍组织最糟糕的可能方式的巧妙安排，这仍然表明没有太多是坏的。有关详细信息，请参阅Wikipedia entry on this。

带路径压缩算法的加权快速联合：时间复杂度分析

2 个答案: