算法：约束范围内数字的XOR

Question

让我们说我们得到一个数字n。 我们需要找到位于[L，R]范围内的值的数量S ^（S + n）。 （其中S是任何非负整数，^是按位xor运算符）。

如果n是2的幂（他们有一个非常有用的模式），我可以很容易地做到这一点

我不知道如何解决这个问题。 有什么建议吗？

修改

n也是非负整数。 n，L，R均小于10 ^ 18。

这是我在某些实践测试中的一个编程问题，我回想一下，我记得今天在StackOverflow中看到了类似的问题。

编辑2 ： 用一个例子来解释， 说n = 1。 然后我们知道S ^（S + 1）将始终具有所有1的二进制表示。例如：1,3,7，......

所以解决这个问题很简单，我们只需要在Range [L，R]中计算这些数字的数量就很简单了。

对于n = 2种类似方法的任何功率都有效。但是如果n不是2的幂，我不知道该怎么做。

Answer 1

让C(n)成为某些S ^ (S + n)可以写为S的（无限）数字集。

我们在集合C(n)上有以下重复关系：

• 如果n = 2k是偶数，那么C(n) = {2x : x in C(k)};
• 如果n = 2k + 1为奇数，则为C(n) = {2x + 1 : x in C(k)} union {2x + 1 : x in C(k + 1)}。

可以从这些关系推导出算法。更准确地说，可以从(C(n), C(n + 1))推导出一对(C(n / 2), C(n / 2 + 1))。请注意，上面的union实际上是一个不相交的联合，因为C(n)中的每个元素都与n具有相同的奇偶校验，因此C(k)和C(k + 1)不相交

复发关系证明：

只需查看n和S的最后二进制数字。