从数组中找到具有max XOR的子数组（使用trie）

Question

问题陈述是：

  

给定一个整数数组，找到具有最大异或的子数组。

一些例子是：

Input: arr[] = {1, 2, 3, 4}
Output: 7
The subarray {3, 4} has maximum XOR value

Input: arr[] = {8, 1, 2, 12, 7, 6}
Output: 15
The subarray {1, 2, 12} has maximum XOR value

我发现quora post提供了对问题解决方案的解释，但我不能完全理解正在解释的内容。

该帖子首先引入了与上述问题类似的问题（帖子中的问题1）：

  

给定一个整数数组，我们必须找到两个XOR最大的元素

然后描述了一个可以处理两种类型查询的trie数据结构：

  

  
1. 插入数字X
  
2. 给定Y，找到Y的最大XOR，其中包含到目前为止已插入的所有数字。   如果我们有这个数据结构，我们将继续插入整数，并使用第二类型的查询，我们将找到最大的XOR
  

上面的图像处理查询类型1.对于查询类型2，帖子具有以下内容：

  

假设我们的数字Y是b1，b2 ... bn，其中b1，b2 ..是二进制位。我们从b1开始。现在为了使XOR达到最大值，我们将在采用XOR后尝试将最重要的位1设为最大值。所以，如果b1为0，我们需要1，反之亦然。在trie中，我们转到所需的位侧。如果没有有利的选择，我们会走另一边。在i = 1到n的情况下全部执行此操作，我们将获得最大的XOR。

这里有一些混乱点。一个是：如何使用trie来找到最大XOR直到阵列中当前点的两个元素？他们似乎在说这样的话：

例如 array = {1,2,3,4}，当前数字为3 - ＆gt; 0011（4位表示）意味着1和2已经插入到trie中。到目前为止，max xor应该是数字1和2（产生3）。使用帖子中提供的方法，似乎max xor可以存储在一个变量中，这样当数组中的最后一个数字与trie的当前stat进行xored时（我假设它有元素） 1,2和3已插入），变量到目前为止将具有最大值。 但是算法如何存储哪两个元素已经xor才能产生最大值？

最后，这种方法的逻辑应该适用于问题（帖子中的问题2）：

  

给定一个整数数组，找到最大XOR

的子数组

这里提供了以下解决方案：

  

假设F（L，R）是从L到R的子阵的XOR。   这里我们使用F（L，R）= F（1，R）XOR F（1，L-1）的性质。怎么样？   假设我们的最大XOR的子阵列在位置i处结束。现在，我们需要最大化F（L，i）即。 F（1，i）XOR F（1，L-1）其中L <= i。假设我们在所有L＆lt; = i中插入F（1，L-1），那么它只是问题1。

我真的不明白F（L，R）= F（1，R）XOR F（1，L-1）的性质。我在这里假设R是最大子阵列的右边界，而L是它的左边界，但是不清楚为什么F（1，i）需要与F（1，L）进行异或-1）。从这一点来看，问题1的逻辑如何适用于此？

我意识到这个问题很长，但问题是多方面的，似乎有必要包括问题的这些基本部分。

Answer 1

第一个问题：当您向trie添加元素时，可以在叶子中存储指示数组中元素索引的附加信息。当您遍历trie并使用Y（如您的问题中所述）到达最大化xor的叶子时，您可以记录两个索引以及最大值（Y的索引称为其你要添加的元素）。

平等f(l, r) = f(0, r) ^ f(0, l - 1)已被证明here。

一旦我们得到了这个相同的解决方案并解决了第一个问题（上面描述了稍微修改以记录索引），我们立即得到第二个问题的解决方案。怎么样？我们可以为所有有效f(i)计算i，然后运行此算法以获得最大化xor的两个索引。让他们为L和R，其中L < R。然后答案是[L + 1, R]子阵列。

Answer 2

从克拉斯科维克的答案中可以理解数学上的相等性。

此后，我们需要使用包含前缀xor值，指向left（0）和right（1）子代的指针的结构，将所有前缀xor（pre_xor）存储在Trie中。

此Trie的所有叶子节点值将包含前缀xor，所有非叶子节点的值将为0。

首先用0初始化pre_xor，然后将0插入特里。

然后，在接受输入后，将其与pre_xor进行异或，以得到异或直到插入最后一个元素，然后将此pre_xor插入特里。

当我们将前缀xor（pre_xor）插入第ith个元素（充当等式的R，即f（0，r））时，我们遍历trie来查找XOR为最大的合适的l也就是说，如果pre_xor的最右边数字包含1，那么如果存在，我们将向0侧移动（因为0 ^ 1 = 1）。

到达叶节点后，我们找到了使Xor最大化的最合适的l，该值就是给定方程式中所讨论的f（0，l-1）。

由于这个f（0，l-1）的xor和f（0，r）的xor = f（l，r）（在给定相等的情况下），所以我们使f（0）的xor最大化， l-1）和f（0，r），我们找到了子数组的最大xor（直到第ith个元素）。