找到n元素集的第k个分位数。 （来自cormen）

Question

n元素集的第k个分位数是k-1阶统计量，其将有序集划分为k个相等大小的集（在1内）。给出O（n lg k）时间算法以列出集合的第k个分位数。

直接的解决方案是选择每个k，2k，3k .. ik最小元素，其运行时间为O（kn）（k调用选择O（n）的过程）。但这可以优化，比O（kn）更好。在select过程中找到索引'i'的中位数中位数后，我们进行以下递归调用。

如果中位数i的中位数指数> k，递归调用选择左子阵列A [0 ... i]

中的第k个最小元素

如果i是＆lt; k，递归地选择右子阵列A [i + 1 ... n]中的第n-i + k个最小元素。

上面的递归调用可以修改如下，这会将因子'k'减少到'log k'吗？

如果中位数i的中位数指数> k，递归地选择左子阵列A [0 ... i]中的第k个最小元素，并递归地选择右子阵列A [i + 1 ... n]中的第n个最小元素。

如果i是＆lt; k，递归地选择右子阵列A [i + 1 ... n]中的第n-i + k个最小元素，并递归地选择左子阵列A [0 ... i]中的第k个最小元素。

主要调用只是选择（A，k，n）。

Answer 1

请注意，我们使用修改后的PARTITION作为其最后一个输入参数的枢轴索引。

您从KTH-QUANTILES(A, 1, n, 1, k-1, k)

开始

KTH-QUANTILES(A, p, r, i, j, k)
n=A.length
m=floor((i+j)/2)
q=floor(m(n/k))
q=q-p+1
q=SELECT(A, p, r, q)
q=PARTITION(A, p, r, q)
if i<m
    L=KTH-QUANTILES(A, p, q-1, i, m-1, k)
if m<j
    R=KTH-QUANTILES(A, q+1, r, m+1, j, k)
return L U A[q] U R

递归树的深度为lg k，因为分区是围绕给定顺序统计的中位数（从i到j）完成的。

在递归树的每个级别上都有Θ（n）个运算，因此运行时间为Θ（nlgk）。

Answer 2

我没有通过你的方法，但这是来自Int的问题。 Cormen的算法。无论如何我自己都在寻找解决方案，我很乐意分享我的算法版本。试着反驳它的正确性：

我假设我们有一个O（n）统计发现算法。所以我可以在O（n）时间内找到第k个统计量。假设我说我将使用分而治之的方法找到所有n / k第k个分位数，以便：

如果我有n个元素，我将数组分成n'/ 2个部分，报告n'/ 2个分区的第k个分位数边界。并递归地报告剩余的分位数。本质上我正在做的是，在使用中值进行分区后，我将从左侧数组中提取最右侧的分位数，从右侧分区中提取最左侧的分位数，并在修剪这些数组后递归地运行算法。我的复杂性分析结果如下：

T（n，k）= 2 * T（n / 2，k / 2）+ O（n）。

事实证明这是O（nlogk），因为k / 2部分会更快地收敛，尽管你可能想要更严格地解决这个问题。我们也使用了n> k（从问题中可以看出。请注意，提取2个分位数并修整数组的任务将在O（n）中完成

Answer 3

在不失一般性的前提下，假设n和k为2的幂。

我们首先使用SELECT在时间O（n）中找到n / 2阶统计量，然后将问题缩小为找到较小n / 2个元素的第k / 2个分位数和较大n个元素的k / 2个分位数/ 2个元素。

让T（n）表示算法在大小为n的输入上运行所花费的时间。
然后对于某个常数c，T（n）= cn + 2T（n / 2），基本情况为T（n / k）= O（1）。

然后我们有：T（n）≤cn + 2T（n / 2）≤2cn + 4T（n / 4）≤3cn + 8T（n / 8）。 。 。 ≤log（k）cn + kT（n / k）≤log（k）cn + O（k）= O（nlogk）。

cc。解决方案手册

Answer 4

“”“ 第k分位数 “”“

随机导入数学

将SelectDetermin_1导入为SD

Q = []

def kQuantiles（A，l，r，k）：＃O（nlgk）

global Q
if k == 1:
    return
i = math.floor(k/2)
n = r-l+1
incr = math.floor(i*n/k)
p = SD.Dselect(A,l,r,l+incr,5)
Q.append((l+incr,p))
q = SD.partition(A,l,r,l+incr)
kQuantiles(A,l,q,math.floor(k/2))
kQuantiles(A,q,r,math.ceil(k/2))

k = 13

A = list（range（100））

random.shuffle（A）

kQuantiles（A，0，len（A）-1，k）

Q.sort（）＃O（klgk）

print（[x表示_，x in x]）

def BFkQuantile（A，k）：#O（kn）

out = []
Q = [math.floor(i * len(A)/k + 1/2) for i in range(1,k)]
for stat in Q:
    out.append(SD.Dselect(A,0,len(A)-1,stat,5))
return out

print（BFkQuantile（A，k））

Dselect和partition的位置与Avi Cohen的帖子中的相同，将A中的条目返回到所需索引以及列表进行分区的索引。

我无法使之前的代码正常工作，所以我想检查一下是否可以