Question

我有一组包含A = {0,1,2,3}元素的n个元组，所以a(i,j) ∈ {0,1,2,3} for i ∈ M = {1,...,m} and j ∈ N = {1,...,n}。我想确定最小的子集M＆＃39;为了使相应的子句a(i',j) with i' ∈ M' and j ∈ N成对不同。

这是R：

中的一个例子

n <- 10
m <- 20

set.seed(13)

set_of_tuples <- replicate(n, sample((0:3), m, replace = TRUE))

set_of_tuples

      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
 [1,]    2    0    2    1    2    2    0    0    1     2
 [2,]    0    2    0    2    1    2    0    0    3     0
 [3,]    1    2    3    3    3    3    2    1    2     1
 [4,]    0    2    2    2    1    2    2    2    3     3
 [5,]    3    0    2    1    2    1    1    1    0     0
 [6,]    0    2    3    1    2    0    0    3    3     3
 [7,]    2    0    0    1    3    1    0    0    0     0
 [8,]    3    1    1    0    1    0    0    2    3     2
 [9,]    3    1    2    1    1    2    3    2    3     0
[10,]    0    2    2    1    3    2    3    2    3     3
[11,]    2    1    2    1    0    1    0    0    1     1
[12,]    3    1    1    1    3    0    3    1    2     1
[13,]    3    3    0    1    0    0    1    3    2     0
[14,]    2    3    3    0    3    1    0    2    1     0
[15,]    2    2    0    1    0    3    3    1    0     2
[16,]    1    0    1    3    1    0    3    1    0     3
[17,]    1    1    0    0    2    3    3    2    3     2
[18,]    2    0    1    1    3    1    2    2    1     2
[19,]    3    3    0    0    3    3    1    2    3     3
[20,]    2    0    0    2    3    3    0    3    1     1

我们是M＆＃39;的长度。显然，s ≥ n**(1/4)因为长度s只有4个不同的子组。在上面的例子中，s≥2。

s <- ceiling(n**(1/4))

测试合适的子集M＆＃39;如果长度为2，则可以评估所有可能的子元素：

pairwise_compare_subtuples <- function(i){
  combn(ncol(set_of_tuples), 2, FUN = function(j) identical(set_of_tuples[i,][, j[1]], set_of_tuples[i,][, j[2]]))
}


index <- combn(nrow(set_of_tuples), s, FUN = NULL, simplify = FALSE)

tmp <- lapply(index, pairwise_compare_subtuples)

table(!unlist(lapply(tmp, any)))

FALSE  TRUE 
  187     3

因此，在这里的示例中，存在M的三个2元素子集，其中所有n个2元素子元素成对地不同。从索引中你可以看出第一个是对（9,15），实际上是

set_of_tuples[c(9,15),]
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    3    1    2    1    1    2    3    2    3     0
[2,]    2    2    0    1    0    3    3    1    0     2

10对都是成对不同的。

虽然原则上这种方法很好，但是对于大的n和m来说它会变得很慢。所以我想问两个问题：

1）有没有比＃34;试验和错误＆＃34;更好的方法，即评估所有可能的小组？

2）如果没有，可以在R？

中更快地进行计算

n个元组的最小子集，使得所有n个子元素成对不同

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