Question

如果我有两个序列（例如，字符串）

//   01234567890123456789012  
a = "AAACDDFFFEE1122VV1VAADD"

//   0123456789012345678901
b = "DDFFAA11221DHHVV1VAAFE"

我想知道从b到a的最佳子串匹配（无序），例如：

optimal (6 matched parts, 19 characters of a matched)
b         a
DDFF   -> DDFF     (4,7)
AA     -> AA       (0,1)
1122   -> 1122     (11,14)
1     
D      -> D        (21)
HH
VV1VAA -> VV1VAA   (15,20)
FE     -> FE       (8,9)

还有另一种解决方案，但不是最佳解决方案：

not optimal (8 parts matched, 19 characters of a matched)
b        a
DDFF  -> DDFF  (4,7)
AA    -> AA    (0,1)
1122  -> 1122  (11,14)
1     -> 1     (17)
D     -> D     (21)
HH
VV    -> VV    (15,16)
1     
VAA   -> VAA   (18,20)
FE    -> FE    (8,9)

什么样的算法更适合这个问题？（我需要最佳结果，性能至关重要）。

感谢。

Answer 1

有趣的问题，您可以使用Boyer-Moore（http://en.wikipedia.org/wiki/Boyer - Moore_string_search_algorithm）或KMP（http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth - Morris在O（| a |。| b | + | b | ^ 2）中解决它-Pratt_algorithm）算法或任何其他线性时间字符串搜索算法。

对于每个b [0..i] ty，在字符串a（在O（| a | + i）中）找到它，直到找不到它为止
你知道你可以找到b [0..i]而不是b [0..i + 1]，所以你有b [0..i]的匹配，你继续b [i + 1。 .I + 1]，b [I + 1..i + 2] ..
最后，b的每个部分是否匹配，如果匹配的话，是否尽可能大。

总复杂度最多为总和（O（| a | + i），i = 0 .. | b |）= O（| a |。| b | + | b | ^ 2）但它可以很多如果只能在a中找到b的小子串，那就更小了。

编辑：

上述方法很贪婪，不会减少部件数量，但我认为它会最大化匹配的字符总数。

<小时/> 关于最佳解决方案的想法：

表示| b |的每个| b | ^ 2子串确定是否可以在| a |中找到它，并且只保留它的情况
我们需要在这些字符串中找到它们的子集：
- 其中任何两个之间没有重叠
- 长度之和最大
- 等长，字符串数必须最小

总和很容易计算，因为一个非常简单的解决方案是只匹配大小为1的子串：然后长度是a和b之间的公共字母数。

因此，如果我们将b的大小为1的子字符串（即使是不在a中的字母）添加到上面的匹配字符串集中，我们需要找到b的最小集合覆盖，而不会重叠。

一般的封面是NP完全的，但是这里有没有重叠的约束，它有帮助吗？

我正在研究它。

确实，NP-complete：http://www.springerlink.com/content/n73561q050w54pn6/

您可能想要寻找近似算法....

Answer 2

如果我理解你的问题，你想要找到一组两个给定字符串的非重叠公共子串，这些子串最大化公共子串的总长度，并且最小化公共子串的数量。我将提出以下启发式：找到两个字符串中最长的公共子字符串（LCS），删除它，重复。我不能证明这是最优的，但我有一个非常有效的算法

所以在你的例子中 AAACDDFFFEE1122VV1VAADD DDFFAA11221DHHVV1VAAFE LCS = VV1VAA

AAACDDFFFEE1122DD DDFFAA11221DHHFE

LCS = DDFF

AAACFEE1122DD AA11221DHHFE

LCS = 1122

AAACFEEDD AADHHFE

等等

算法如下 1）使用基于后缀树的标准LCS算法 1.1构建连接的两个字符串的后缀树和唯一的终止符 1.2用1,2或两者标记每个节点，这取决于那里生根的子树是否有来自其中一个或两个字符串的叶子 1.3计算每个节点的字符串深度 1.4找到标记为1和2的字符串最深的节点 2）删除以该节点为根的子树，并更新其上方节点的标签 3）从1.4重复

当树没有标记为1和2的节点时，算法终止 1.1可以在与两个弦的长度之和成比例的时间内完成 1.2,1.3和1.4只是树遍历 2如果树实现正确并且更新受LCS长度的限制，则删除应该是恒定时间 3再次是树遍历但是树较小

所以这是一个优化，为了避免重复的树遍历，让我们添加步骤1.35：按字符串深度排序两个标签的内部节点（在单独的数据结构中，树仍在那里）。现在，您可以扫描排序的节点列表，执行2）并重复。通过这种优化，如果你可以使用基数排序，看起来算法是线性时间，你无法以渐近的方式击败它。

我希望这是正确和清晰的，我相信在听起来很明显之前你需要先熟悉一下后缀树文献。我推荐Dan Gusfield的书“字符串，树和序列算法”，特别是7.4节如果你有问题，请告诉我。

什么样的算法更适合无序序列匹配问题？

2 个答案: