我有一个相当大的n维向量集合，其整数坐标（d大约为50），除了在某些情况下坐标是一个特殊的哨兵＆＃34;不关心＆＃34;价值，我用*来表示。我试图找到一种有效的算法，将所有相互比较的矢量合并在一起，其中＆＃34;等于＆＃34;意味着＆＃34;矢量中的每对坐标都匹配，假设*条目可以匹配任何东西。＆＃34;例如，给定这些行向量：
[* 1 2 * *]
[1 1 * 2 *]
[2 1 3 * 1]
[2 * 3 * *]
[1 * 3 4 *]
我们将它们分解为这些集群：
[* 1 2 * *], [1 1 * 2 *]
[2 1 3 * *], [2 * 3 * *]
[1 * 3 4 *]
要求是所有集群都需要使其中的所有向量成对等价。有可能有很多方法可以将符合这些标准的事物聚集在一起，所以对于一些松散的定义，不要太多＆＃34;应该有＃34;不要太多＆＃34;簇。
通过成对地比较所有向量并匹配匹配的向量，然后重复这一步直到所有向量都被聚类，这当然是可能的。另一个选项（我们当前正在使用的那个）是从它自己的集群中的第一个向量开始，然后对每个向量进行检查，以检查它是否与任何现有集群匹配，或者它是否需要进入自己的集群。这些方法要么是二次方，要么是在时间上与矢量数乘以簇的数量成正比，这对我们的应用来说还不够快。
有没有有效的算法来解决这个特殊问题？
答案 0 :(得分：2)
所以看起来这个问题是 NP - 硬 - 不仅是 NP - 硬，它是 NP <之一< / strong> - 可能很难得到大致答案的严重问题。
为了说明这一点，这里有一个快速减少色数问题（给出一个图表，它是什么颜色所需的最小颜色数？）到这个问题。我将以一个例子来说明。想象一下，我们有这个图：
A -- B -- C
| | |
D -- E -- F
我将从这个图表开始，并形成一组向量，而不是关心＆＃34;＆＃34;＆＃34;这样每个簇对应一组节点，它们之间没有边缘运行（一个独立的集合）。总的来说，每个聚类代表一组可以给出相同颜色的节点，因此找到最小聚类对应于找到图的色数。
由于图中有六个节点，每个向量将有六个组件。我们将在图中为每个节点形成一个向量。例如，节点A的向量将是
[ 0 1 * 1 * * ]
矢量的列按顺序指节点A，B，C，D，E和F.A列中的0表示＆＃34;这是A的矢量。＆＃34; B和D列中的1表示＆＃34;从该节点到节点B和D的边缘。＆＃34;其他列中的*表示＆＃34;此节点与其他节点之间没有任何边缘运行。＆＃34;如果我们为图中的所有节点形成一组向量，我们将得到：
A B C D E F
A: [ 0 1 * 1 * * ]
B: [ 1 0 1 * 1 * ]
C: [ * 1 0 * * 1 ]
D: [ 1 * * 0 1 * ]
E: [ * 1 * 1 0 1 ]
F: [ * * 1 * 1 0 ]
现在，想象一下试图聚类这些向量。请注意，如果您采用任意两个相邻节点（例如，B和E），则它们的向量不匹配，因为B向量在B列中具有0并且E向量在B列中具有1。但是，如果您接受任何不相邻的节点，那么它们将匹配，因为
总的来说，这意味着向量集群对应于在它们之间没有边缘运行的节点集合，因此找到最小的集群会给出图形的着色。在这种情况下，请注意原始图形可以通过使A，C和E为相同颜色而B颜色为2色，B，D和F为另一种颜色。如果我们查看向量，它们可以聚类成A，C和E以及B，D和F：
A B C D E F
A: [ 0 1 * 1 * * ]
C: [ * 1 0 * * 1 ]
E: [ * 1 * 1 0 1 ]
B: [ 1 0 1 * 1 * ]
D: [ 1 * * 0 1 * ]
F: [ * * 1 * 1 0 ]
更一般地，给定具有n个节点的图，形成这种形式的n个向量，其中每个向量对应于一个节点，该节点的列中具有0，每个相邻节点的列中具有1，以及*在所有其他列中。然后，最小簇数对应于原始图的色数，这种减少可以在多项式时间内完成。
问题在于找到图的最小色数的问题是 NP - 硬，并且没有已知的近似算法甚至接近常数因子近似。因此，除非 P = NP ，否则我所描述的原始问题可能没有良好的近似算法。
我需要解决的问题的特殊情况可能更容易近似，因此我可能会发布一个后续问题，详细说明我尝试做的事情。