MATLAB中布朗运动增量的方差

Question

我在MATLAB中模拟布朗运动，但是我得到一个奇怪的结果，布朗运动增量的方差随着时间的推移而增长，应该保持不变。例如，我构建了布朗运动系统，

brown_drift = @(t,X) 0;
brown_vol = @(t,X) .2;
brown_sys = bm(brown_drift, brown_vol);

然后我用时间步长1和长度10插入1000次试验

inter_brown = interpolate(brown_sys, 0:1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);
inter_brown = squeeze(inter_brown);

布朗运动的增量应该是独立的，所以如果我构造一个增量矩阵并取方差，它们应该都是相同的并且等于波动率参数的平方。

inc = inter_brown(2:end,:)-inter_brown(1:end-1,:);
var(inc')
ans = 0.0374    0.1184    0.2071    0.2736    0.3516    0.4190    0.5511    0.5891    0.6767    0.7647

然而，它显然不能满足简单理论的要求，即每个增量的方差应为0.2 ^ 2。看起来未来的每个增量都会增加2 * 0.2 ^ 2到它之前的增量的方差。当布朗运动似乎满足其他理论时，我似乎无法弄清楚为什么会发生这种情况。在给定时间运动的方差。有什么明显的东西我在这里不见了吗？

Answer 1

我会做三件事：

1）选择较小的布朗路径的时间步长。模拟一条路径中的步骤越多，每条路径中增量的计算方差就越准确（使用var(var(inc))检查）。这意味着对于每个路径，您将获得更多类似的增量方差结果。

2）如果您的时间大于1（参见Volatility over time），增量的方差也会有不同的缩放比例，因此根据您的初始时间尺度会得到不同的结果。即

interpolate(brown_sys, 0:0.1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);

会导致大约0.4和

的差异

interpolate(brown_sys, 0:0.1:100, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);

会导致方差为4.所以只需将时间更改为：

interpolate(brown_sys, 0:dt:1, zeros(1,1,1000),'Times',[0]);

您应该选择dt非常小的dt = 0.001;

3）您应该考虑inc的方差而不是转置的方差。因为您获得的矩阵inter_brown在每列上都有模拟路径。因此属于一条路径的步骤应该在一列中。因此，您计算的矩阵inc包含根据列中的一个路径的增量。 var()矩阵计算存储在一列中的样本的方差。因此，如果您想知道第一条路径增量的方差，则必须调用类似：var(inc(:,1))的方法。调用var(inc)会为您提供每条路径的差异。您可以使用plot(var(inc))绘制它们。然后，您将看到增量的方差符合预期的0.04。请使用mean(var(inc))进行检查。