This is a 2016 entrance exam question:
We have N balls with distinct and unknown weights that have labels 1 to n. We are given a two-pan balance and want to use it for weighting these balls in pairs and writing them on a paper in-order to sort all of these balls. In the worst case, how many weighing operations are need? Choose the best answer.
a) Ceil[ n log2 n ]
b) Floor[ n log2 n ]
c) n − 1
d) Ceil[ log2 n! ]
According to the answer answer sheet, the correct solution is: Ceil[ log2 n! ]
My question is: how is this solution is achieved (how does this algorithms work, is there any pesudocode?)?
答案 0 :(得分：5)
如果你看一下Number of Comparisons in Merge-Sort，你会在那里找到答案，认为mergesort的比较总数（已知具有良好的渐近行为）是
n⌈log 2 n⌉ - 2 ⌈log 2 n⌉ + 1
当然n⌈log 2 n⌉=⌈nlog 2 n⌉和2 ⌈log 2 n⌉< / sup>≥n所以对于n≥1，这确认答案（a）为上限。
（b）上限是否更严格？如果你写了⌈log 2 n⌉= log 2 n + d，对于某些0≤d＆lt; 1然后你得到
n（log 2 n + d） - 2 d n + 1 = n（log 2 n + d - 2 d < / sup>）+ 1 =（n log 2 n）+ n（d - 2 d + 1 / n）
如果你写m：=⌈log 2 n⌉和n = 2 m - d 最后一个括号变为（d - 2 d + 2 d - 米）。
对于m的某些值，Plotting this表示对于整数m≥1，这将非常可能为零。对于n = 1，得到m = 0，这意味着d = 0，因此整个括号变为零。因此，当你弄清楚证明的细节时，这将表明（b）确实是mergesort的上限。
（c）怎么样？对于n = 3，有一个简单的反例。如果你知道球1比2轻且小于3，这并没有告诉你如何排序2和3.你可以证明你不能选择次优算法通过比较1到2和3，由于问题的对称性，这是一般情况。所以（c）不是上限。可以下限吗？当然，即使确认球已经订购，你必须对每一对连续进行称重，从而进行n - 1次比较。即使使用最好的算法，也不能比猜测正确的顺序更好，然后确认你的猜测。
（d）下限更严格吗？ Plots再次表明它至少与（c）一样大，除了没有整数值的小区域。因此，如果它是一个下限，它将更紧。现在想一下决策树。订购这些n个球的每个算法都可以写成二元决策树：比较给定节点中命名的两个balle，并根据比较结果，进行两个可能的后续步骤之一。决策树必须有n！叶子，因为每个排列必须是一个独特的叶子，所以一旦你到达叶子你就知道确切的排列。和n的二叉树！叶子的深度必须至少为⌈log 2 n！⌉。所以是的，这也是一个下限。
总结所有这些，你有（c）≤（d）≤x≤（b）≤（a），其中x表示最佳算法对所有球进行排序所需的比较次数。正如Mark Dickinson的评论指出的那样，A036604 on OEIS给出了一些n的显式下界，而对于n = 12，不等式（d）＆lt; x很严格。所以（d）没有完全描述最佳算法。
顺便说一句（并回答你的“这个算法是如何工作的”），找到给定n的最优算法是相当容易的，至少在理论上：为那些n计算所有可能的决策树！排序，选择深度最小的一个。当然，这种方法很快就变得不切实际了。
现在我们知道没有一个答案给出了最佳排序算法的正确计数，哪个答案是“最好的”？这在很大程度上取决于背景。在许多应用中，知道最差时间行为的上限比知道下限更有价值，因此（b）将优于（d）。但显然创建解决方案表的人有不同的意见，并且（d），或者因为它更接近最优（我假设但尚未证明），或者因为下限对手头的应用更有用。如果您愿意，您可能会质疑整个问题，理由是“最佳”在问题范围内没有得到充分定义。