为什么平均阻尼会神奇地加速定点计算器的收敛？

Question

我正在阅读SICP，并且作者在计算函数的固定点时研究了平均阻尼技术。我知道在某些情况下，即平方根是必要的，以阻止函数y = x/y的振荡，但是，我不明白为什么它神奇地帮助定点计算函数的收敛。帮助

修改的

显然，我有点想过这个。我似乎无法理解为什么在重复应用时平均一个函数本身会加速收敛。

Answer 1

它只会加速重复应用程序“跳转”到固定点的那些函数。直观地说，就像在钟摆上加一个制动器一样 - 制动器会更快停止。

但并非每个函数都具有此属性。考虑f(x)=x/2。这个函数会在没有平均阻尼的情况下更快地收敛（对数基数为2步与对数基数（4/3）步长），因为它从一侧接近固定点。

Answer 2

虽然我无法在数学基础上回答你的问题，但我会尝试一个直观的问题： fixpoint技术需要围绕其..well .. fixpoint的“平坦”功能图。这意味着：如果你在X-Y图表上描绘你的固定点功能，你会发现该函数正好在真实结果处穿过对角线（+ x，+ y）。在您的固定点算法的一个步骤中，您猜测X值需要在交叉点周​​围的区间内，其中一阶导数在（-1 .. + 1）之间并且取Y值。您拍摄的Y将更接近交点，因为从交点开始，可以通过跟随坡度小于+/- 1 的路径到达，与之前的X值相比，你利用了这个意义上的确切斜率-1。现在很明显，当使用Y作为新X时，斜率越小，朝向交点（真实函数值）的方式越多。最佳插值函数通常是一个常数，其斜率为0，为您提供第一步的真正价值。

对所有数学家抱歉。