Question

我有一个有点数学问题。我有一堆位域，想要计算它们的哪个子集，以实现某个其他位域，或者如果没有办法，则发现不存在这样的子集。

我想使用免费库而不是原始代码来实现这一点，我非常喜欢使用Python绑定的东西（使用Python的内置数学库也是可以接受的，但是我想要移植它最终到多种语言）。同样最好不要将每个位扩展到它自己的字节。

进一步澄清：我只需要一个解决方案。我的矩阵与稀疏相反。我非常有兴趣将运行时保持在绝对最小值，因此强烈建议使用算法级别的方法来反转矩阵。此外，特定的给定位域是输出的位域非常重要，因此只需找到xor到0的子集的技术就不会完全削减它。

我一般都知道高斯消除。我试图从头开始避免这样做！

交叉发布到mathoverflow，因为不清楚这个问题的正确位置是什么 - https://mathoverflow.net/questions/41036/how-to-find-which-subset-of-bitfields-xor-to-another-bitfield

Answer 1

从数学上讲，在F_2字段中可以将两位的XOR视为加法。

您想要在F_2字段中求解一组方程。对于具有位（a_0，a_1，... a_n），（b_0，b_1，...，b_n），（c_0，c_1，...，c_n），（r_0，r_1，...，r_n）的四个bitfiel ），你得到方程式：

x * a_0 + y * b_0 + z * c_0 = r_0
x * a_1 + y * b_1 + z * c_1 = r_1
...
x * a_n + y * b_n + z * c_n = r_n

（寻找x，y，z）。

您可以将此编程为glpk的简单整数线性问题，可能是lp_solve（但我不记得它是否合适）。这些可能会非常缓慢，因为他们正试图解决更普遍的问题。

谷歌搜索一段时间后，似乎这个page可能是寻找代码的良好开端。从描述中可以看出Dixon和LinBox非常合适。

无论如何，我认为在mathoverflow上提问可能会给你更准确的答案。如果您这样做，请在此处链接您的问题。

更新： Sagemath使用M4RI来解决此问题。这使（对我而言）是一个非常好的推荐。

Answer 2

对于容易适合内存的小实例，这只是在F_2上求解线性系统，因此请尝试使用mod-2高斯消元法。对于非常大的稀疏实例，例如在因子分解（筛分）算法中出现的稀疏实例，请查看Wiedemann算法。

Answer 3

可以将多个子集xor设置为相同的值;你喜欢找到所有子集吗？

一种可能是严厉的方法是过滤位域的幂。在哈斯克尔：

import Data.Bits

xorsTo :: Int -> [Int] -> [[Int]]
xorsTo target fields = filter xorsToTarget (powerset fields)
  where xorsToTarget f = (foldl xor 0 f) == target

powerset [] = [[]]
powerset (x:xs) = powerset xs ++ map (x:) (powerset xs)

不确定是否有办法在不生成powerset的情况下执行此操作。（在最坏的情况下，解决方案实际上可能是整个powerset）。

Answer 4

扩展liori的答案，我们有一个线性方程组（模2）：

a0, b0, c0 ...| r0
a1, b1, c1 ...| r1
...           |
an, bn, cn ...| rn

高斯消元可用于解决系统问题。在模2中，添加行操作变为XOR操作。这样做比使用通用线性系统求解器要简单得多。

因此，如果a0为零，我们交换一个位置为1的行。然后在“a”位为1的任何其他行上执行XOR（使用第0行）。然后使用第1行和第b列，然后第2行col c等重复

如果在r列中得到一行非零且为子集DNE。

如何找到位域的哪个子集xor到另一个位域？

4 个答案: