Question

我想确定给定的3x3矩阵是否是正半定的。为此，我在YALMIP中编写以下SDP

v=0.2;
a=sdpvar(1);
b=sdpvar(1);
M=[1 a -v/4 ; b 1 0 ; -v/4 0 0.25];
x=sdpvar(1);
optimize([M+x*eye(3)>=0],x,sdpsettings('solver','sedumi'))

这个程序给了我错误＆＃34;发现双重不可行，原始改善方向＆＃34;。对于区间（0,1）中的任何v值，都会发生这种情况。

鉴于这个问题易于处理，我直接对矩阵进行了对角化，得到三个特征值是以下多项式的三个根

16*t^3 - 36*t^2 + (24 - 16*a*b - v^2)*t + (-4 + 4*a*b + v^2)

以数字方式计算三个根的值我看到它们中的三个对于符号（a）=符号（b）是正的（除了a，b = + - 1附近的小区域），因此，SDP应该没有问题地运行并且输出x的负值而没有进一步的复杂化。

为了让事情变得更有趣，我使用以下矩阵运行相同的代码

M=[1 a v/4 ; b 1 0 ; v/4 0 0.25];

这个矩阵具有与前一个矩阵相同的特征值，在这种情况下，程序运行没有任何问题，确认矩阵确实是正半定的。

我真的很好奇这个问题的本质，任何帮助都会非常感激。

编辑：我也尝试过SDPT3求解器，结果非常相似。实际上，对于+ v的情况，程序运行平稳，但是当我放一个减号时，我得到以下错误

'Unknown problem in solver (Turn on 'debug' in sdpsettings) (Error using  & …'

此外，当我对变量添加一些限制时，即我运行以下命令

optimize([total+w*eye(3)>=0,-1<=a<=1,-1<=b<=1],w,sdpsettings('solver','sdpt3'))

然后错误变成了“不可行的问题”。错误。

Answer 1

迟到的答案，但无论如何。您指定的矩阵不对称。半定规划是关于对称正半正定矩阵集的优化。

当您在YALMIP中定义此非对称矩阵约束时，它只被解释为一组9个线性元素约束，对于该线性程序，最佳x是无界的。