有没有一种方法可以调用在python中创建随机正交矩阵?可能使用numpy?或者有没有办法使用多个numpy方法创建一个正交矩阵?感谢。
答案 0 :(得分:22)
scipy版本0.18有scipy.stats.ortho_group
和scipy.stats.special_ortho_group
。添加它的拉取请求是https://github.com/scipy/scipy/pull/5622
例如,
In [24]: from scipy.stats import ortho_group # Requires version 0.18 of scipy
In [25]: m = ortho_group.rvs(dim=3)
In [26]: m
Out[26]:
array([[-0.23939017, 0.58743526, -0.77305379],
[ 0.81921268, -0.30515101, -0.48556508],
[-0.52113619, -0.74953498, -0.40818426]])
In [27]: np.set_printoptions(suppress=True)
In [28]: m.dot(m.T)
Out[28]:
array([[ 1., 0., -0.],
[ 0., 1., 0.],
[-0., 0., 1.]])
答案 1 :(得分:14)
您可以通过执行n x n
Q
因子分解来获得随机n x n
正交矩阵QR
,(均匀分布在n x n
正交矩阵的流形上)带有元素iid的矩阵平均0
和方差1
的高斯随机变量。这是一个例子:
import numpy as np
from scipy.linalg import qr
n = 3
H = np.random.randn(n, n)
Q, R = qr(H)
print (Q.dot(Q.T))
[[ 1.00000000e+00 -2.77555756e-17 2.49800181e-16] [ -2.77555756e-17 1.00000000e+00 -1.38777878e-17] [ 2.49800181e-16 -1.38777878e-17 1.00000000e+00]]
编辑:(在@g g的评论之后重新回答这个答案。)上述关于高斯矩阵的QR分解的索赔,提供了均匀分布(在所谓的Stiefel流形上)正交矩阵,由理论2.3提出。 this reference的.18-19。请注意,结果陈述表明" QR-like"然而,分解,三角矩阵R
具有正元素。
显然,scipy(numpy)函数的qr
函数不能保证R
的正对角元素,而相应的Q
实际上是不均匀分布。这在this专着,Sec。 4.6(讨论涉及MATLAB,但我想MATLAB和scipy都使用相同的LAPACK例程)。建议由Q
提供的矩阵qr
通过将其与随机酉对角矩阵相乘来修改。
下面我在上面的参考文献中重现了实验,绘制了" direct"的特征值的相位的经验分布(直方图)。由Q
提供的qr
矩阵,以及"已修改的"}版本,其中可以看出修改后的版本确实具有统一的特征值相位,正如从均匀分布的正交矩阵所预期的那样。
from scipy.linalg import qr, eigvals
from seaborn import distplot
n = 50
repeats = 10000
angles = []
angles_modified = []
for rp in range(repeats):
H = np.random.randn(n, n)
Q, R = qr(H)
angles.append(np.angle(eigvals(Q)))
Q_modified = Q @ np.diag(np.exp(1j * np.pi * 2 * np.random.rand(n)))
angles_modified.append(np.angle(eigvals(Q_modified)))
fig, ax = plt.subplots(1,2, figsize = (10,3))
distplot(np.asarray(angles).flatten(),kde = False, hist_kws=dict(edgecolor="k", linewidth=2), ax= ax[0])
ax[0].set(xlabel='phase', title='direct')
distplot(np.asarray(angles_modified).flatten(),kde = False, hist_kws=dict(edgecolor="k", linewidth=2), ax= ax[1])
ax[1].set(xlabel='phase', title='modified');
答案 2 :(得分:10)
这是从https://github.com/scipy/scipy/pull/5622/files中提取的rvs
方法,只有极小的变化 - 足以作为一个独立的numpy函数运行。
import numpy as np
def rvs(dim=3):
random_state = np.random
H = np.eye(dim)
D = np.ones((dim,))
for n in range(1, dim):
x = random_state.normal(size=(dim-n+1,))
D[n-1] = np.sign(x[0])
x[0] -= D[n-1]*np.sqrt((x*x).sum())
# Householder transformation
Hx = (np.eye(dim-n+1) - 2.*np.outer(x, x)/(x*x).sum())
mat = np.eye(dim)
mat[n-1:, n-1:] = Hx
H = np.dot(H, mat)
# Fix the last sign such that the determinant is 1
D[-1] = (-1)**(1-(dim % 2))*D.prod()
# Equivalent to np.dot(np.diag(D), H) but faster, apparently
H = (D*H.T).T
return H
它符合Warren的测试https://stackoverflow.com/a/38426572/901925
答案 3 :(得分:3)
如果你想要一个具有正交列向量的无方阵,你可以使用任何提到的方法创建一个方形矩阵并删除一些列。
答案 4 :(得分:1)
from scipy.stats import special_ortho_group
num_dim=3
x = special_ortho_group.rvs(num_dim)
答案 5 :(得分:0)
创建任何形状(n x m
)正交矩阵的简单方法:
import numpy as np
n, m = 3, 5
H = np.random.rand(n, m)
u, s, vh = np.linalg.svd(H, full_matrices=False)
mat = u @ vh
print(mat @ mat.T) # -> eye(n)
请注意,如果使用n > m
,它将获得mat.T @ mat = eye(m)
。
答案 6 :(得分:0)
Numpy 也有 qr 分解。 https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.qr.html
import numpy as np
a = np.random.rand(3, 3)
q, r = np.linalg.qr(a)
q @ q.T
# array([[ 1.00000000e+00, 8.83206468e-17, 2.69154044e-16],
# [ 8.83206468e-17, 1.00000000e+00, -1.30466244e-16],
# [ 2.69154044e-16, -1.30466244e-16, 1.00000000e+00]])