如何在Numpy中实现二次采样RBF（径向基函数）？

Question

我试图在CalTech lecture here描述的Python和Numpy中实现径向基函数。数学对我来说似乎很清楚所以我觉得奇怪的是它不起作用（或者似乎不起作用）。这个想法很简单，人们为​​每个高斯形式选择一个子采样数量的中心，形成一个核心矩阵，并试图找到最佳系数。即求解Kc = y其中K是具有最小二乘的guassian核（gramm）矩阵。为此我做了：

beta = 0.5*np.power(1.0/stddev,2)
Kern = np.exp(-beta*euclidean_distances(X=X,Y=subsampled_data_points,squared=True))
#(C,_,_,_) = np.linalg.lstsq(K,Y_train)
C = np.dot( np.linalg.pinv(Kern), Y )

但是当我尝试使用原始数据绘制插值时，他们不会同样看待它们：

有100个随机中心（来自数据集）。我还尝试了10个中心，它们使用训练集中的每个数据点生成基本相同的图形。我假设使用数据集中的每个数据点应该或多或少完美地复制曲线，但它没有（过度拟合）。它产生：

这似乎不正确。我将提供完整的代码（运行没有错误）：

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances

from scipy.interpolate import Rbf

import matplotlib.pyplot as plt

## Data sets
def get_labels_improved(X,f):
    N_train = X.shape[0]
    Y = np.zeros( (N_train,1) )
    for i in range(N_train):
        Y[i] = f(X[i])
    return Y

def get_kernel_matrix(x,W,S):
    beta = get_beta_np(S)
    #beta = 0.5*tf.pow(tf.div( tf.constant(1.0,dtype=tf.float64),S), 2)
    Z = -beta*euclidean_distances(X=x,Y=W,squared=True)
    K = np.exp(Z)
    return K

N = 5000
low_x =-2*np.pi
high_x=2*np.pi
X = low_x + (high_x - low_x) * np.random.rand(N,1)
# f(x) = 2*(2(cos(x)^2 - 1)^2 -1
f = lambda x: 2*np.power( 2*np.power( np.cos(x) ,2) - 1, 2) - 1
Y = get_labels_improved(X , f)

K = 2 # number of centers for RBF
indices=np.random.choice(a=N,size=K) # choose numbers from 0 to D^(1)
subsampled_data_points=X[indices,:] # M_sub x D
stddev = 100

beta = 0.5*np.power(1.0/stddev,2)
Kern = np.exp(-beta*euclidean_distances(X=X,Y=subsampled_data_points,squared=True))
#(C,_,_,_) = np.linalg.lstsq(K,Y_train)
C = np.dot( np.linalg.pinv(Kern), Y )

Y_pred = np.dot( Kern , C )

plt.plot(X, Y, 'o', label='Original data', markersize=1)
plt.plot(X, Y_pred, 'r', label='Fitted line', markersize=1)
plt.legend()
plt.show()

由于情节看起来很奇怪，我决定阅读有关绘图功能的文档，但我找不到任何明显的错误。

Answer 1

内插函数的缩放

主要问题是不幸选择用于插值的函数的标准偏差：

stddev = 100

您的功能（驼峰）的功能大小约为1.因此，请使用

stddev = 1

X值的顺序

因为来自matplotlib的plt以给定的顺序连接连续的数据点，所以存在红线的混乱。由于您的X值是随机顺序，因此会导致左右混乱。使用排序的X：

X = np.sort(low_x + (high_x - low_x) * np.random.rand(N,1), axis=0)

效率问题

您的get_labels_improved方法效率低下，循环遍历X的元素。使用Y = f(X)，将循环留给低级别的NumPy内部。

此外，超定系统的最小二乘解的计算应该用lstsq来完成，而不是计算伪逆（计算上昂贵）并乘以它。

这是清理过的代码;使用30个中心可以很好地适应。

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances

import matplotlib.pyplot as plt

N = 5000

low_x =-2*np.pi
high_x=2*np.pi
X = np.sort(low_x + (high_x - low_x) * np.random.rand(N,1), axis=0)
f = lambda x: 2*np.power( 2*np.power( np.cos(x) ,2) - 1, 2) - 1
Y = f(X) 

K = 30 # number of centers for RBF
indices=np.random.choice(a=N,size=K) # choose numbers from 0 to D^(1)
subsampled_data_points=X[indices,:] # M_sub x D
stddev = 1

beta = 0.5*np.power(1.0/stddev,2)
Kern = np.exp(-beta*euclidean_distances(X=X, Y=subsampled_data_points,squared=True))
C = np.linalg.lstsq(Kern, Y)[0]

Y_pred = np.dot(Kern, C)

plt.plot(X, Y, 'o', label='Original data', markersize=1)
plt.plot(X, Y_pred, 'r', label='Fitted line', markersize=1)
plt.legend()
plt.show()