可以在多项式时间内计算计数函数和连续素数的乘积吗？

Question

在我使用过的两种算法中，我使用了两个函数：

1. pi（n）：=素数＆lt; = n ，
2. R（n）：= r ，其中 prod（p_i，i = 1，r）＆lt; = n 但 n＆lt; prod（p_i，i = 1，r + 1）其中 p_i 是第i个素数。

基本上 pi（n）是着名的计数函数，R（n）只计算连续素数的乘积，直到达到约束 n 并返回使用的素数量，例如：

R（12）= 2，因为2 * 3 <= 12但是2 * 3 * 5> 12并且例如

R（100）= 3，因为2 * 3 * 5 <= 100但是2 * 3 * 5 * 7> 100。

我的教授一直在谈论计算这些功能的运行时间。我知道pi（n）它随着时间的推移接近x / ln（x），但我对某些东西有疑问：

1. 可以在多项式时间内计算R（n）吗？从我的角度来看，通过使用动态编程，我们可以通过知道2 * 3 * 5 * ... * p_（i-1）来计算产品2 * 3 * 5 * ... * p_i，因此问题减少到得到下一个素数，据我所知它可以用多项式时间计算（PRIMES在P中）。
2. 另外，因为我们知道我们可以确定一个数是否是多项式时间的素数，不应该意味着pi（n）可以用多项式时间计算吗？ （也可以使用动态编程）。

如果有人可以帮助我澄清这些问题或指出我正确的方向，我真的很感激！谢谢！

Answer 1

有一些方法可以在亚线性时间内计算pi（n）。 Google for＆＃34; legendre phi＆＃34;或者用于＆＃34; lehmer prime计数功能＆＃34;，或者用于更近期的工作＆＃34; lagarias miller odlyzko计数功能＆＃34;。莱默的方法并不难编程;我在my blog讨论它。

Answer 2

对于任何n，你可以很容易地确定它是否在O（n ^（1/2））时间内处于初始状态（通过2,3,4 ...，sqrt（n）检查可分性），所以你可以迭代n并保持一个计数器。如果你将素数存储在一个列表中，你甚至可以加快检查每个数字是否为素数（检查可分性为2,3,5 ......，最接近sqrt（n）的素数）。所以这个寻找pi（n）的算法应该是O（n ^（3/2））。

所以，让我们说你运行该算法并将素数存储在列表中。然后对于R（n），你可以迭代它们来获得它们的累积积，并在你超过n时返回。我不确定这会是什么时间复杂，但它会变小。可能是O（log（n））的某些东西，肯定比O（n）更快。把它们放在一起，你应该得到比O（n ^（5/2））更快的东西。