Question

任何人都可以提供任何prime-counting function实现的计算可行的伪代码吗？我最初尝试编码Hardy-Wright algorithm，但它的阶乘开始产生可怜的溢出，而其他许多似乎必然会产生类似的问题。我已经搜索过谷歌的实用解决方案，但最好的是，我发现了非常深奥的数学，这是我在常规程序中没有看到过的。

Answer 1

计数函数pi（x）计算不超过x的素数的数量，并且几个世纪以来一直着迷于数学家。在十八世纪初，Adrien-Marie Legendre使用辅助函数phi（x，a）给出了一个公式，该函数计算了不大于x的数字，这些数字没有被第一个素数的筛选所击中;例如，对于数字1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47和49，phi（50,3）= 14. phi函数可以计算为phi （x，a）= phi（x，a-1） - phi（x / P（a），a-1），其中phi（x，1）是不超过x和P（a）的奇数的整数是第a个素数（从P（1）= 2开始计算）。

function phi(x, a)
  if (phi(x, a) is in cache)
    return phi(x, a) from cache
  if (a == 1)
    return (x + 1) // 2
  t := phi(x, a-1) - phi(x // p[a], a-1)
  insert phi(x, a) = t in cache
  return t

数组p存储小a的第a个素数，通过筛分计算得出。缓存很重要;没有它，运行时间将呈指数级。给定phi，勒让德的计数公式为pi（x）= phi（x，a）+ a - 1，其中a = pi（floor（sqrt（x）））。勒让德使用他的公式来计算pi（10 ^ 6），但是他报告了78526，而不是78498的正确答案，即使错误，也非常接近复杂的手动计算。

在20世纪50年代，Derrick H. Lehmer提出了一种改进的计算素数算法：

function pi(x)
  if (x < limit) return count(primes(x))
  a := pi(root(x, 4)) # fourth root of x
  b := pi(root(x, 2)) # square root of x
  c := pi(root(x, 3)) # cube root of x
  sum := phi(x,a) + (b+a-2) * (b-a+1) / 2
  for i from a+1 to b
    w := n / p[i]
    lim := pi(sqrt(w))
    sum := sum - pi(w)
    if (i <= c)
      for j from i to lim
        sum := sum - pi(w / p[j]) + j - 1
  return sum

例如，pi（10 ^ 12）= 37607912018.即使使用这些算法，它们的现代变体和非常快的计算机，计算大的pi值仍然令人震惊乏味;在撰写本文时，已知最大值为pi（10 ^ 24）= 18435599767349200867866。

为了使用该算法计算第n个素数，素数定理的推论将n log n和n（log n + log log n）之间的第n个素数P（n）限制为n> 1。 5，所以在边界处计算pi并使用二分法确定第n个素数，当边界接近时切换到筛选。

我在my blog的几个条目中讨论素数。

Answer 2

维基百科也可能有所帮助。 prime counting上的文章包含了一些内容。对于初学者，我推荐Meissel在“用于评估π（x）的算法”一节中的算法，这是最简单的算法之一，不生成所有素数。

我也发现Pomerance和Crandall的书"Prime numbers a computational perspective"很有帮助。本书详细介绍了素数计数方法。但请记住，这里的主题本质上对于大多数读者来说有点过于先进。

Prime计数功能的可行实现

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