Question

除了强力方法之外，什么可以是一个很好的编程算法来解决下面的等式？

找到n = 100的所有x，y和z;

x^2 + y^2 + z^2 = n;

x，y，z应为正整数。

Answer 1

这是关于n的线性时间的解决方案：

'use strict';
(function(){

class CalendarComponent {
  constructor() {
    this.eventSources = [];
    
    this.uiConfig = {
       calendar : {
              editable : true,
              header : {
                        left : 'prev,next,today',
                        centre : 'title',
                        right : 'month,agendaWeek,agendaDay'
                       }
                  }
                }
  }
}

angular.module('sangamApp',['ui.calendar'])
  .component('calendar', {
    templateUrl: 'app/calendar/calendar.html',
    controller: CalendarComponent
  });

})();

通过计算给定x和y的z的必要值并检查它是否为整数，它除去了一个与蛮力解相比的内环。

对于n：

的值所需的测试次数和解决方案

int x, y, z;
int n = 1000;
int tests = 0;
int solutions = 0;
// loop through all possible x values
for(x = 1; x * x * 3 <= n; x++)
{
    // compute target sum of y^2 + z^2
    int m = n - x * x;
    for(y = x; y * y * 2 <= m; y++)
    {
        tests++;
        // compute z and check if it's an integer:
        z = (int)(Math.sqrt(m - (y * y)));
        if((x * x) + (y * y) + (z * z) == n)
        {
            System.out.println(""+x+" "+y+" "+z);
            solutions++;
        }
    }
}
System.out.println(tests);
System.out.println(solutions);

似乎没有任何方法可以摆脱外部循环，因为你需要循环使用多个解决方案，但是你可以提前出去＆＃34;并通过检查m是the sum of two squares

来避免内部操纵

这是链接算法的简单实现，但是有更多先进的分解算法（例如Pollard＆＃39; rho）：

 n          tests       solutions
 5000       1081        8
 500000     108749      45
 50000000   10879762    232

您可以在此检查中包含内部循环：

public static boolean isSumOfTwoSquares(int m)
{
    for(int i = 2; i * i <= m; i++)
    {
        int exponent = 0;
        while(m % i == 0)
        {
            m /= i;
            exponent++;
        }
        if((m % 4 == 3) && ((exponent & 1) != 0))
            return false;
    }
    return true;
}

结果：

if(isSumOfTwoSquares(m))

鉴于n tests solutions 5000 777 8 500000 72162 45 50000000 6511184 232功能足够快，可能会出现这种情况。与没有早期出现的更简单的算法不同，测试的数量对n的值更加敏感。

算法都具有约束x＆lt; = y＆lt; = z。我希望所有没有这种约束的解决方案都可以置换解决方案，每个约束解决方案都会有6（3！）。

Answer 2

通过一些数学运算，您可以获得稍微快一点的解决方案。 X^2 模 4 要么是 0 要么是 1，所以只有当三个数字都是偶数或都是奇数时，3 个平方的和才为 0 或 3，这样可以节省四分之三的工作量。实际上，如果 n 模 4 = 0，那么您可以通过将 n/4 的解乘以 2 来找到所有解。

我们有一个类似的事情，其中 x^2 模 9 是 0、1 或 -1，具体取决于 x 模 3。所以总和不能是 +/- 4 模 9，总和 = +/- 3 意味着所有三个变量为 +/- 1 模 3。

求解算法的非强力法求解方程

2 个答案: