优化加权区间的总和

Question

我在实线上有M个间隔，每个都有正重量。我需要在它们中选择N，使它们不重叠并给出最大总和。我怎样才能有效地做到这一点？

如果没有N个非重叠区间的子集，则没有解决方案。

如果没有非重叠约束，问题就很简单：选择N个最大权重。由于这个限制，这不再起作用了。在我的情况下，N和M很小（<20），但我希望有一个比穷举尝试所有子集更有效的解决方案。

Answer 1

您可以使用动态编程解决它。设C(k, i)为（最多）k加权区间的最大总和，其中任何一个的左端都不会小于i。

您可以将i限制在所有间隔的（实际）起点集合中，k的范围从0到N。

• 首先将C(k, max(start for start, end in interval))初始化为0，将所有其他条目初始化为-infinity。
• 按起点对间隔进行排序，然后向后迭代它们。

• 对于权重start和每个end的每个时间间隔（w，k）：

  C(start, k) = max(C(start, k), C(next(start), k), w + C(next'(end), k-1))

此处next(x)返回大于x的最小起点，next'(x)返回大于或等于x的最小起点。两者都可以通过二分搜索实现（如果M很小，则可以实现线性扫描）。

总的来说，这将占用O（M * N * logM）时间和O（M * N）空间。

（这假设两端的间隔未闭合，因此（0,100）和（100,200）不重叠 - 如果认为这些重叠，则需要进行小的调整）。

Answer 2

正在进行中：

受@ PaulHankin解决方案的启发，这是一个重新制定。

通过增加右横坐标对所有间隔进行排序，并迭代地找到直到第K个右边界的最大可能总和。假设您已经解决了前K个区间和所有相关N（从0到K）的所有优化问题。

当您考虑下一个时间间隔时，您可以按如下方式计算新的候选解决方案：对于每N个（直到当前的间隔名义），延长所有先前的解决方案（包括空的解决方案）而不会导致重叠，并保持更好的长度解决方案。

示例：

通过增加N，最佳总和达到第K个右边界

1: 2
2: 2 or 8 => 8 | -
3: 8 or 3 => 8 | 2 + 3                   | -
4: 8 or 2 => 8 | 2 + 3 or 8 + 2 => 8 + 2 | 2 + 3 + 2 | -
5: 8 or 9 => 9 | 8 + 2 or 2 + 9 => 2 + 9 | 2 + 3 + 2 | - | -