Question

我的老师在算法过程中给了我们一个非常难的问题。

让我们考虑下面的代码，其中random(a)是一个基元，它返回一个随机整数值，均匀分布在[0;a]中，并且具有复杂度Theta(1)。

  int test(int n)
{
  if(n<=2) return n;
  int i = random(n-2);
  return test(i) + test(n-2-i);
}

什么可以返回n = 9的函数;
表达式测试（2016）的最小值是什么？
表达式测试（2016）的最大值是什么？

我试图概括通用步骤k的表达式，但我陷入了概率性的事情，我不知道如何表达它们。它不是一个家庭作业，它只是值得思考的东西。

Answer 1

让我们尝试为i：3..9计算测试（i）以知道它可以返回9 我们有test（n）= test（i）+ test（j），其中i + j = n-2，i <= n-2且j <= n-2
test（3）= test（1）+ test（0）= 1
test（4）= test（2）+ test（0）|| test（1）+ test（1）= 2
test（5）= test（3）+ test（0）|| test（2）+ test（1）= 1 || 3（这里开始出问题）
test（6）= test（4）+ test（0）|| test（3）+ test（1）|| test（2）+ test（2）= 2 || 4
test（7）= test（5）+ test（0）|| test（4）+ test（1）|| test（3）+ test（2）= 1 || 3
test（8）= test（6）+ test（0）|| test（5）+ test（1）|| test（4）+ test（2）|| test（3）+ test（3）= 2 || 4
test（9）= test（7）+ test（0）|| test（6）+ test（1）|| test（5）+ test（2）|| test（4）+ test（3）= 1 || 3 || 5
因此，如果n％2 = 0，则test（n）可以返回低于n的偶数，并且在另一种情况下（即很酷），低于n的偶数（）至于最小测试（2016），如果随机总是返回0，你将有测试（2016）=测试（2014）.... =测试（2）= 2
对于最大测试（2016），它是1008，如果随机总是返回（n-2）/ 2
我实际上编辑测试（2016）= 1008 test（4n）可以返回{2,4，...，2n}
test（4n + 1）可以返回{1,3，...，2n + 1}
test（4n + 2）可以返回{2,4，...，2n + 2}
test（4n + 3）可以返回{1,3，...，2n + 1}
我认为这可以通过归纳来验证，对于n = 1，这是正确的测试（4n + 4）=测试（2）+测试（4n）因为测试（4n）可能返回= 2n我们有测试（4n + 4）可能返回2n +测试（2）= 2n +2
因为测试（4n + 4）可以返回测试（4n + 2）并且测试（4n）=＆gt; test（4n + 4）可以返回test（4n）=＆gt;返回的所有值。它可以返回{2,4，... 2n + 2}
很明显，测试（4n + 4）不能返回一个数字，它是两个测试（i）和测试（j）的总和，因为i + j = 4n + 4，i和j都是偶数或者是偶数和归纳的假设，结果是偶数。
最后一步是证明测试（4n + 4）不能大于2n + 2：
测试（4n + 4）=测试（i）+测试（j），其中i + j = 4n + 2，再次使用感应的假设max（test（i）=＆lt;（i / 2）+1和max（test（j））＆lt; =（j / 2）+1
所以测试（4n + 4）＆lt; = 2n + 3并且因为它是偶数测试（4n + 4）＆lt; = 2n + 2.

这个函数返回的值是多少？

1 个答案: