找到满足不等式约束的{x，y}离散对

Question

我有一些关于{x,y}的不等式，它满足以下等式：

x>=0
y>=0
f(x,y)=x^2+y^2>=100
g(x,y)=x^2+y^2<=200

请注意，x和y必须为整数。

图形上可以表示如下，蓝色区域是满足上述不等式的区域：

现在的问题是，Matlab中是否有任何函数可以找到{x,y}的每个可接受对？如果有算法来做这种事情，我也很高兴听到它。

当然，我们可以使用的一种方法是强力方法，我们测试{x,y}的每个可能组合，以查看是否满足不等式。但这是最后的手段，因为它耗费时间。我正在寻找一个聪明的算法来做到这一点，或者在最好的情况下，我可以直接使用现有的库。

x^2+y^2>=100 and x^2+y^2<=200只是示例;实际上f和g可以是任何程度的任何多项式函数。

编辑：欢迎使用C＃代码。

Answer 1

对于一般的多项式不等式集合，通过枚举搜索以外的任何方法，即使存在有限数量的解，也无法做到这一点。 （也许我应该说这不是微不足道的，因为它是可能的。枚举搜索将起作用，受浮点问题的影响。）请注意，感兴趣的域不需要简单地连接到更高阶的不等式。

编辑：OP询问了如何进行搜索。

考虑问题

x^3 + y^3 >= 1e12
x^4 + y^4 <= 1e16

x >= 0, y >= 0

解决此系统的所有整数解决方案。请注意，这里的任何形式的整数编程都不够，因为请求所有整数解。

在这里使用meshgrid将迫使我们查看域中的点（0：10000）X（0：10000）。所以它会迫使我们采样一组1e8点，测试每个点以查看它们是否满足约束条件。

一个简单的循环可能比这更有效，尽管它仍然需要一些努力。

% Note that I will store these in a cell array,
% since I cannot preallocate the results.
tic
xmax = 10000;
xy = cell(1,xmax);
for x = 0:xmax
  % solve for y, given x. This requires us to
  % solve for those values of y such that
  %   y^3 >= 1e12 - x.^3
  %   y^4 <= 1e16 - x.^4
  % These are simple expressions to solve for.
  y = ceil((1e12 - x.^3).^(1/3)):floor((1e16 - x.^4).^0.25);
  n = numel(y);
  if n > 0
    xy{x+1} = [repmat(x,1,n);y];
  end
end
% flatten the cell array
xy = cell2mat(xy);
toc

所需时间是......

Elapsed time is 0.600419 seconds.

在我们可能测试的100020001组合中，我们找到了多少解决方案？

size(xy)
ans =
           2     4371264

不可否认，详尽的搜索更容易编写。

tic
[x,y] = meshgrid(0:10000);
k = (x.^3 + y.^3 >= 1e12) & (x.^4 + y.^4 <= 1e16);
xy = [x(k),y(k)];
toc

我在一台64位机器上运行它，有8 GB的内存。但即便如此，测试本身也是一头CPU。

Elapsed time is 50.182385 seconds.

请注意，浮点注意事项有时会导致找到不同数量的点，具体取决于计算的完成方式。

最后，如果您的约束方程更复杂，您可能需要在表达式中使用y作为边界的根，以帮助确定约束的满足位置。这里的好处是它仍适用于更复杂的多项式边界。