Question

鉴于任何编程语言，只要存在标准库函数，我们就应该使用它而不是编写自己的代码。人们会认为这个建议同样适用于Coq。但是，我最近强迫自己使用same_relation模块的Relation谓词，我感觉情况更糟。所以我必须遗漏一些东西，因此我的问题。为了说明我的意思，让我们考虑可能的关系：

Require Import Relations.      (* same_relation *)
Require Import Setoids.Setoid. (* seems to be needed for rewrite *)

Inductive rel1 {A:Type} : A -> A -> Prop :=
  | rel1_refl : forall x:A, rel1 x x.   (* for example *)

Inductive rel2 {A:Type} : A -> A -> Prop :=
  | rel2_refl : forall x:A, rel2 x x.   (* for example *)

只要rel1和rel2相同，这些关系的具体细节就不重要了。现在，如果我想忽略Coq库，我可以简单地说：

Lemma L1: forall (A:Type)(x y:A), rel1 x y <-> rel2 x y.
Proof.
  (* some proof *)
Qed.

如果我想按照我的直觉并使用Coq库：

Lemma L2: forall (A:Type), same_relation A rel1 rel2.
Proof.
  (* some proof *)
Qed.

在最简单的情况下，似乎已经证明引理L1或引理L2同样有益：

Lemma application1: forall (A:Type) (x y:A), 
  rel1 x y -> rel2 x y (* for example *)
Proof.
  intros A x y H. apply L1 (* or L2 *) . exact H.
Qed.

我是否决定使用apply L1或apply L2没有任何区别......

然而在实践中，我们可能面临更复杂的目标：

Lemma application2: forall (A:Type) (x y:A) (p:Prop),
  p /\ rel1 x y -> p /\ rel2 x y.
Proof.
  intros A x y p H. rewrite <- L1. exact H.
Qed.

我的观点是，rewrite <- L1替换rewrite <- L2将会失败。对于前面的示例也是如此，但至少我能够使用apply而不是rewrite。在这种情况下我不能使用apply（除非我经历了分裂目标的麻烦）。因此，如果我只有Lemma rewrite，我似乎已经失去了使用L2的便利。

对等效（不仅仅是相等）的结果使用rewrite非常方便。似乎将等价包装到谓词same_relation中会带来这种便利。我是否正确地遵循自己的直觉并强迫自己使用same_relation？更一般地说，如果在标准Coq库中定义了一个构造，我应该使用它，而不是定义我自己的版本吗？

Answer 1

你提出两个问题，我试着单独回答：

关于你的重写问题，这个问题很自然，因为same_relation的定义是双重包含。我同意使用iff的定义可能会更方便。这真的取决于你的目标类型。您的问题的可能解决方案是定义视图：
```
Lemma L1 {A:Type} {x y:A} : rel1 x y <-> rel2 x y.
Proof.
Admitted.

Lemma L2 {A:Type} : same_relation A rel1 rel2.
Proof.
Admitted.

Lemma U {T} {R1 R2 : relation T} :
  same_relation _ R1 R2 -> forall x y, R1 x y <-> R2 x y.
Proof. now destruct 1; intros x y; split; auto. Qed.

Lemma application2 {A:Type} {x y:A} {p:Prop} :
   p /\ rel1 x y -> p /\ rel2 x y.
Proof. now rewrite (U L2). Qed.
```
另请注意，使用<->关系进行重写并非基于相等，而是基于＆＃34; setoid重写＆＃34;。事实上，以下内容并不适用于Coq A <-> B -> A = B。
关于第二个问题，是否使用Coq标准库是一个非常主观的主题。我个人很少使用它，我更喜欢一个名为math-comp的不同的库，而是YMMV。关于关系，mathcomp主要是专门用于布尔关系rel x y = x -> y -> bool，因此，等价被简单地定义为相等，通常，给定r1 r2你写r1 =2 r2。
最后，恕我直言，这些选择在很大程度上取决于您的应用领域。

[edit] ：请注意，关系库的日期为：

Coq中的朴素集合论。 Coq V6.1。这项工作于1993年7月由F. Prost开始。

事实上，它可能不是建立Coq开发的最佳现代基地。

是否会因使用“same_relation”而受到惩罚。（可能还有其他库定义）？

1 个答案:

是否会因使用“same_relation”而受到惩罚。 （可能还有其他库定义）？

1 个答案:

是否会因使用“same_relation”而受到惩罚。（可能还有其他库定义）？