如何使用scipy执行二维插值？

Question

  

此Q＆amp; A旨在作为使用scipy进行二维（和多维）插值的规范（-ish）。关于各种多维插值方法的基本语法经常有问题，我希望也能直接设置这些。

我有一组分散的二维数据点，我想将它们绘制成一个漂亮的表面，最好使用contourf中的plot_surface或matplotlib.pyplot。如何使用scipy将我的二维或多维数据插入网格？

我找到了scipy.interpolate子包，但在使用interp2d或bisplrep或griddata或rbf时，我一直收到错误消息。这些方法的正确语法是什么？

Answer 1

免责声明：我主要是在写这篇文章时考虑到语法因素和一般行为。我不熟悉所描述方法的内存和CPU方面，我将这个答案的目标对象是那些拥有相当小的数据集的人，这样插值的质量可能是需要考虑的主要方面。我知道，在处理非常大的数据集时，性能更好的方法（即griddata和Rbf）可能不可行。

我将比较三种多维插值方法（interp2d / splines，griddata和Rbf）。我将使它们受到两种插值任务和两种底层函数（要插入的点）。具体的例子将展示二维插值，但可行的方法适用于任意维度。每种方法都提供各种插值;在所有情况下，我将使用三次插值（或接近 ¹ 的东西）。重要的是要注意，无论何时使用插值，都会引入与原始数据相比的偏差，并且所使用的特定方法会影响您最终会得到的工件。始终注意这一点，并负责任地插入。

两个插值任务将是

1. 上采样（输入数据在矩形网格上，输出数据在更密集的网格上）
2. 将散乱数据插值到规则网格上

这两个函数（通过域[x,y] in [-1,1]x[-1,1]）将是

1. 顺畅友好的功能：cos(pi*x)*sin(pi*y);范围[-1, 1]
2. 一个邪恶的（特别是非连续的）函数：x*y/(x^2+y^2)，其值在原点附近为0.5;范围[-0.5, 0.5]

以下是它们的外观：



我将首先演示这三种方法在这四种测试中的表现，然后我将详细介绍这三种方法的语法。如果您知道对方法的期望，您可能不想浪费时间学习它的语法（看着你，interp2d）。

测试数据

为了显而易见，这里是我生成输入数据的代码。虽然在这种特殊情况下，我明显意识到数据的基础功能，但我只会用它来为插值方法生成输入。我使用numpy是为了方便（主要用于生成数据），但仅仅scipy就足够了。

import numpy as np
import scipy.interpolate as interp

# auxiliary function for mesh generation
def gimme_mesh(n):
    minval = -1
    maxval =  1
    # produce an asymmetric shape in order to catch issues with transpositions
    return np.meshgrid(np.linspace(minval,maxval,n), np.linspace(minval,maxval,n+1))

# set up underlying test functions, vectorized
def fun_smooth(x, y):
    return np.cos(np.pi*x)*np.sin(np.pi*y)

def fun_evil(x, y):
    # watch out for singular origin; function has no unique limit there
    return np.where(x**2+y**2>1e-10, x*y/(x**2+y**2), 0.5)

# sparse input mesh, 6x7 in shape
N_sparse = 6
x_sparse,y_sparse = gimme_mesh(N_sparse)
z_sparse_smooth = fun_smooth(x_sparse, y_sparse)
z_sparse_evil = fun_evil(x_sparse, y_sparse)

# scattered input points, 10^2 altogether (shape (100,))
N_scattered = 10
x_scattered,y_scattered = np.random.rand(2,N_scattered**2)*2 - 1
z_scattered_smooth = fun_smooth(x_scattered, y_scattered)
z_scattered_evil = fun_evil(x_scattered, y_scattered)

# dense output mesh, 20x21 in shape
N_dense = 20
x_dense,y_dense = gimme_mesh(N_dense)

平滑功能和上采样

让我们从最简单的任务开始吧。以下是从形状[6,7]的网格到[20,21]的网格的上采样如何用于平滑测试函数：



尽管这是一项简单的任务，但输出之间已经存在细微差别。乍一看，所有三个输出都是合理的。基于我们对基础函数的先验知识，有两个要注意的特征：griddata的中间案例最能扭曲数据。注意绘图的y==-1边界（最接近x标签）：函数应该严格为零（因为y==-1是平滑函数的节点线），但这不是griddata的案例。还要注意图的x==-1边界（后面，左边）：底层函数在[-1, -0.5]处有一个局部最大值（暗示边界附近的零梯度），但是griddata输出在该区域中显示出明显的非零梯度。效果很微妙，但它仍然是一种偏见。 （Rbf的保真度甚至更好，默认选择径向函数，称为multiquadratic。）

邪恶功能和上采样

更难的任务是对我们的邪恶功能进行上采样：



三种方法之间开始显示出明显的差异。观察表面图，interp2d的输出中出现明显的虚假极值（注意绘制曲面右侧的两个驼峰）。虽然griddata和Rbf乍一看似乎会产生类似的结果，但后者似乎会在基础函数中不存在[0.4, -0.4]附近产生更深的最小值。

然而，有一个关键方面Rbf远远优于它：它尊重底层函数的对称性（当然也可以通过样本网格的对称性来实现）。 griddata的输出打破了采样点的对称性，这在光滑的情况下已经很弱了。

平滑功能和分散数据

通常，人们希望对分散的数据执行插值。出于这个原因，我希望这些测试更重要。如上所示，在感兴趣的域中伪均匀地选择样本点。在实际场景中，每次测量可能会产生额外的噪声，您应该考虑是否有必要插入原始数据。

平滑功能的输出：



现在已经有点恐怖表演了。我将interp2d的输出剪切到[-1, 1]之间专门用于绘图，以便保留至少最少量的信息。很明显，虽然存在一些潜在的形状，但是存在巨大的嘈杂区域，其中该方法完全破坏。 griddata的第二种情况相当好地再现了形状，但请注意等高线边界处的白色区域。这是因为griddata仅在输入数据点的凸包内部起作用（换句话说，它不执行任何外推）。我保留了位于凸包外面的输出点的默认NaN值。 ² 考虑到这些功能，Rbf似乎表现最佳。

邪恶功能和分散数据

我们一直在等待的那一刻：



interp2d放弃并不奇怪。事实上，在致电interp2d期间，你应该期待一些友好的RuntimeWarning抱怨样条的不可能构建。至于其他两种方法，Rbf似乎产生最佳输出，甚至在推断结果的域的边界附近。

那么，让我谈谈三种方法，按优先顺序递减（这样最差的人最不可能被任何人阅读）。

scipy.interpolate.Rbf

Rbf类代表＆＃34;径向基函数＆＃34;。说实话，在我开始研究这篇文章之前，我从未考虑过这种方法，但我很确定我将来会使用这些方法。

就像基于样条曲线的方法（见下文）一样，用法分两步：第一步根据输入数据创建一个可调用的Rbf类实例，然后为给定的输出网格调用此对象获得插值结果。平滑上采样测试的例子：

import scipy.interpolate as interp
zfun_smooth_rbf = interp.Rbf(x_sparse, y_sparse, z_sparse_smooth, function='cubic', smooth=0)  # default smooth=0 for interpolation
z_dense_smooth_rbf = zfun_smooth_rbf(x_dense, y_dense)  # not really a function, but a callable class instance

请注意，在这种情况下，输入和输出点都是2d数组，输出z_dense_smooth_rbf与x_dense和y_dense具有相同的形状，而不需要任何努力。另请注意，Rbf支持插值的任意维度。

所以，scipy.interpolate.Rbf

• 即使对于疯狂的输入数据也能产生良好的输出
• 支持更高维度的插值
• 在输入点的凸包外推断（当然外推总是赌博，你通常不应该依赖它）。
• 创建插补器作为第一步，因此在各种输出点进行评估可以减少额外的工作量
• 可以有任意形状的输出点（而不是被约束为矩形网格，见后面）
• 倾向于保留输入数据的对称性
• 支持关键字function的多种径向函数：multiquadric，inverse，gaussian，linear，cubic，{{1 }，quintic和用户定义的任意

thin_plate

我以前最喜欢的scipy.interpolate.griddata，是任意维度插值的一般主力。除了为节点的凸包外部的点设置单个预设值之外，它不会执行外推，但由于外推是非常易变和危险的事情，因此这不一定是一个骗局。用法示例：

griddata

请注意略有克服的语法。必须在z_dense_smooth_griddata = interp.griddata(np.array([x_sparse.ravel(),y_sparse.ravel()]).T, z_sparse_smooth.ravel(), (x_dense,y_dense), method='cubic') # default method is linear 维度的形状[N, D]数组中指定输入点。为此，我们首先必须展平我们的2d坐标数组（使用D），然后连接数组并转置结果。有多种方法可以做到这一点，但所有这些方法看起来都很笨重。输入ravel数据也必须展平。当涉及输出点时，我们有更多的自由：由于某种原因，这些也可以被指定为多维数组的元组。请注意，z的{​​{1}}具有误导性，因为它表明输入点（至少版本为0.17.0）也是如此：

help

简而言之，griddata

• 即使对于疯狂的输入数据也能产生良好的输出
• 支持更高维度的插值
• 不执行外推，可以为输入点的凸包外部的输出设置单个值（参见griddata(points, values, xi, method='linear', fill_value=nan, rescale=False) Interpolate unstructured D-dimensional data. Parameters ---------- points : ndarray of floats, shape (n, D) Data point coordinates. Can either be an array of shape (n, D), or a tuple of `ndim` arrays. values : ndarray of float or complex, shape (n,) Data values. xi : ndarray of float, shape (M, D) Points at which to interpolate data. ）
• 在一次调用中计算插值，因此探测多组输出点从头开始
• 可以有任意形状的输出点
• 支持任意维度的最近邻和线性插值，1d和2d中的立方。最近邻和线性插值分别使用scipy.interpolate.griddata和fill_value。 1d三次插值使用样条，2d三次插值使用NearestNDInterpolator构造连续可微分段 - 三次插值器。
• 可能违反输入数据的对称性

LinearNDInterpolator / CloughTocher2DInterpolator

我讨论scipy.interpolate.interp2d及其亲属的唯一原因是它有一个欺骗性的名字，人们可能会尝试使用它。剧透警告：不要使用它（从scipy版本0.17.0开始）。它比以前的主题更特殊，因为它专门用于二维插值，但我怀疑这是多变量插值最常见的情况。

就语法而言，scipy.interpolate.bisplrep类似于interp2d，因为它首先需要构造一个插值实例，可以调用它来提供实际的插值。然而，有一个问题：输出点必须位于矩形网格上，因此进入内插器调用的输入必须是跨越输出网格的1d向量，就好像来自interp2d：

Rbf

使用numpy.meshgrid时最常见的错误之一就是将完整的2d网格放入插值调用，这会导致内存消耗殆尽，并希望仓促# reminder: x_sparse and y_sparse are of shape [6, 7] from numpy.meshgrid zfun_smooth_interp2d = interp.interp2d(x_sparse, y_sparse, z_sparse_smooth, kind='cubic') # default kind is 'linear' # reminder: x_dense and y_dense are of shape [20, 21] from numpy.meshgrid xvec = x_dense[0,:] # 1d array of unique x values, 20 elements yvec = y_dense[:,0] # 1d array of unique y values, 21 elements z_dense_smooth_interp2d = zfun_smooth_interp2d(xvec,yvec) # output is [20, 21]-shaped array 。

现在，interp2d的最大问题在于它通常无法正常工作。为了理解这一点，我们必须深入了解。事实证明，MemoryError是较低级函数bisplrep + bisplev的包装器，它们又是FITPACK例程的包装器（用Fortran编写）。对前一个示例的等效调用将是

interp2d

现在，关于interp2d的问题:(在scipy版本0.17.0中）kind = 'cubic' if kind=='linear': kx=ky=1 elif kind=='cubic': kx=ky=3 elif kind=='quintic': kx=ky=5 # bisplrep constructs a spline representation, bisplev evaluates the spline at given points bisp_smooth = interp.bisplrep(x_sparse.ravel(),y_sparse.ravel(),z_sparse_smooth.ravel(),kx=kx,ky=ky,s=0) z_dense_smooth_bisplrep = interp.bisplev(xvec,yvec,bisp_smooth).T # note the transpose 有一个很好的comment in interpolate/interpolate.py：

interp2d

确实在interp2d，在if not rectangular_grid: # TODO: surfit is really not meant for interpolation! self.tck = fitpack.bisplrep(x, y, z, kx=kx, ky=ky, s=0.0) 中有一些设置，最终

interpolate/fitpack.py

就是这样。 bisplrep下面的例程并不意味着执行插值。它们可能足以满足表现良好的数据，但在实际情况下，您可能希望使用其他东西。

结论是，tx, ty, c, o = _fitpack._surfit(x, y, z, w, xb, xe, yb, ye, kx, ky, task, s, eps, tx, ty, nxest, nyest, wrk, lwrk1, lwrk2)

• 即使有良好的数据也可能导致文物
• 专门针对双变量问题（尽管网格上定义的输入点有限interp2d）
• 执行外推
• 创建插补器作为第一步，因此在各种输出点进行评估可以减少额外的工作量
• 只能在矩形网格上产生输出，对于分散输出，你必须在循环中调用插值器
• 支持线性，立方和五次插值
• 可能违反输入数据的对称性

¹ 我相当确定interpolate.interp2d的{​​{1}}和interpn种基函数并不完全对应于其他插值器同名。
² 这些NaN也是为什么表面图看起来如此奇怪的原因：matplotlib历史上很难用复杂的深度信息绘制复杂的3d对象。数据中的NaN值会混淆渲染器，因此应该在后面的曲面部分被绘制在前面。这是可视化问题，而不是插值问题。