优化包含矩形中相同大小的正方形

Question

假设我们有几个相同大小的正方形。我们想要绘制n矩形（这里是红色和黄色矩形）来包含这些方块。

目标是尽可能减少空间浪费。

在下面的示例中，n = 2和右侧的解决方案是首选，因为它只会导致一个浪费的空间。

是否已有任何已知算法可以解决这类问题？

更新 正方形的排列是任意的，它们总是在X轴之上！

UPDATE2： 为了使问题更容易，我们假设所谓的容器矩形是彼此重叠的！ （这里有红色和黄色矩形）

一个更复杂的案例： 我们假设这个也使用了两个矩形。可以看出，第三种解决方案导致空间浪费最少。

Answer 1

这个问题几乎与ITA Software提出的招聘难题相同，称为"Strawberry Fields"（向下滚动草莓田;将温室成本从10改为0）。我可以确认整数编程，特别是branch and price，其中高级决策是否将两个正方形放在同一个矩形中，对于这个问题非常有效。这是我的custom solver，用C语言编写。您需要将strawberry_fields.h中的温室成本从10改为0.

Answer 2

这种类型的矩形覆盖很难（NP-hard实际上，你可以用它来解决矩形覆盖问题），但你可以用整数线性编程来解决这个问题，如下所示：

minimize sum[i] take[i] * area[i]
st
sum[i] take[i] == n
for every filled cell x,y:
    sum[rectangle i covers x,y] take[i] == 1
take[i] in { 0, 1 }

矩形列表仅包含您可能需要的“合理”矩形。也就是说，只有在不露出一些填充的单元格的情况下才能制作得更小的矩形，并且你可以跳过某些“内部矩形”，你可以告诉它们永远不能成为解决方案的一部分，因为它们会留下一个难以覆盖的形状。生成这些矩形本身就是一项有趣的练习，但生成太多并不是一个大问题，只是速度较慢。在解决方案中，任何1的take[i]都对应于您所采用的矩形。

您可以将其投入任何可用的解算器，例如GLPK（免费）或Gurobi（可获得商业和学术许可）。

这通常应该比蛮力更快，因为线性松弛（与上面相同的模型，但最后一个约束转换为0 <= take[i] <= 1）可以用来指导搜索，并且可以应用各种平面切割技巧

在this paper中可以找到更高级的技巧，例如使用线性松弛的分数解的技巧。