Question

我遇到了与subset sum problem相关的问题，我想知道差异是否更容易，即在合理的时间内可以解决。

给定值V，设定大小L和数字序列[1，N] S，S总和的L个子集的总和小于V？

这与子集和问题有三种不同：

我关心有多少子集比给定值少，而不是等于多少。
子集大小是固定的。
我关心多少将总和设置为小于V，而不仅仅是否存在。

有没有合理有效的算法来解决这个问题？

编辑：显然，这可以使用组合生成算法在O（N选择L）中完成。我真正感兴趣的是聪明的黑客，以便大大加快它的速度。

Answer 1

（决定版本）您的问题仍然是NP完整的。我们的想法是，如果我们可以解决你的问题，那么（对于每个子集大小，比方说），我们可以询问有多少集合总和小于V以及多少总和小于V-1，并且这两个数字的差异将是告诉我们是否是精确到V的子集 - 因此我们可以解决子集和问题。 [这不是一个完整的证明，因为它是Turing reduction，而不是many one reduction。]

但是，有一个简单的动态编程解决方案，它在时间O（nLV）内运行。 [这不能证明P = NP的原因是V在输入大小中可能是指数的：对于n位，您可以表示高达2 ⁿ的值。但假设你的V不是指数，这不是问题。]

令num [v] [k] [i]表示S的前i个元素的大小k子集的数量，它们总和为v。您可以将它们计算为（对于每个i）：

    num[0][0][i] = 1
    for v = 1 to V:
        for k = 1 to L:
            num[v][k][i] = num[v][k][i-1] + num[v-S[i]][k-1][i-1]

其中S [i]是序列中的第i个元素。（任何与v相加的大小k的集合都不使用S [i]，因此它在num [v] [k] [i-1]中计数，或者它使用S [i]，这意味着其余的子集具有k-1个元素，仅使用序列中的第一个i-1个数，并求和为vS [i]。）最后，对于每个小于V的v计数num [v] [L] [| S |] ;这是你的答案。

此外，如果你仔细地做，你可以省略第三个下标（为每个i向下运行你的循环，等等）;为了清楚起见，我只包括它。

Answer 2

我不准备提供证明，但听起来它可能适合动态编程方案：将大小为2的子集列表用于大小为3的计算机子集，以便hyou只需要检查一小部分潜在客户。

Answer 3

我想到的一个优化是：订购你的序列（如果它不是这样的话）。从头开始选择第一个L-1项，然后选择最后一项，即它是最大可能值（序列中的下一个最大值会给出太大的总和）。丢弃序列的其余部分，因为这些项目永远不会成为有效子集的一部分。

之后我猜它再次完全搜索。但话说可能还有其他优化措施。

Answer 4

子集和问题的动态编程解决方案生成一个包含此答案的表（即V乘以N的布尔表，其中V是元素的最大数量，N是可以在集合中的最大项目数满足约束;如果＆lt; = N个元素总和为＆lt; = V），则每个布尔值为真。因此，如果N * V对您来说不是太大，则存在可接受的快速算法。子集求和解是该表中的最高集元素，其元素数为＆lt; = N / 2.

Answer 5

如果只有正整数，如果需要，可以执行验证步骤;

取该集合中L-1个最小整数的总和。如果这是一个和X，那么如果问题假设有一个解决方案，则n-X必须低于最大元素。想想看，你可以用这种方式消除其他的......

Answer 6

嗯，有一件事，因为你指定size = L然后即使你不能想到任何聪明的东西，只是使用蛮力，你会在最坏的情况下（N选择L）单独的总和，所以它是比n ^^ L好一点（好吧，L + 1，因为你然后对每个子集求和）。

Answer 7

这听起来像是一个选择k类问题。生成k的k子集在Skiena的算法设计手册中有所涉及，本书建议按字典顺序列举相关的子集（例如，递归地）。然后对每个子集进行求和和比较。

如果你有一个排序集，你可能会从解决方案领域修剪不可能的解决方案。

Answer 8

动态编程公式也许是对FPTAS的PTAS的一个补充。

这种子集和问题的变体更容易解决吗？

8 个答案: