计算具有非均匀段长度的多边形链的平均曲率

Question

我使用多边形链来近似曲线。我想近似曲线上所有点的曲率函数的平均值。我需要的一个曲率函数是，例如，曲率的平方。

我可以通过选择链上的某些点，计算这些点的曲率，在其上应用函数（例如对其进行平方），然后对计算值进行平均来接近它。

我需要准确性和速度。我很欣赏 - 快速，但近似;以及准确但缓慢的解决方案。我在Java工作，但答案不需要用Java编写 - 它根本不需要包含任何代码。

具有均匀段长度的多边形链

如果多边形链的段都具有相同的长度，我可以计算顶点中的曲率然后对其求平均值。我看到两种方法来获得顶点的曲率。

一种方法是获取穿过所选顶点的圆，即前面的顶点和后面的顶点。然后曲率为1 /圆的半径。

另一种方法是计算在所选顶点处连接的两个分段的外部角度（以弧度表示），然后将其绝对值除以分段的长度。在下图中，φ标记外角：

我不确定这种方法是否正确，因为我没有在数学上得出它，但我通过实验注意到它给出了与上述方法类似的结果。

具有非均匀段长度的多边形链

不幸的是，不能保证段的长度一致。

如果我尝试使用上述第一种方法，连接到较长段的顶点会产生较低的曲率，即使它们明显更清晰。我尝试用前面的x个单位替换前一个和下一个顶点，然后选择一个点x个单位。我不知道将x常数设置为什么，以获得准确的结果。我试过的所有价值似乎都给出了不准确的结果。

如果我尝试使用第二种方法，我不知道分割角度的长度。如果我没有任何分数，我实际上得到了很好的结果，比较两条曲线并确定哪条曲线是曲线的，但我需要能够确定一个点的实际曲率。

使用这两种方法还存在这样的问题：具有较短片段的部分（其中点更密集）将影响平均值。

另一种可能的解决方案是忽略顶点，而是使用 均匀间隔的链上的点阵列，将它们视为新的多边形链（用直线连接点），然后使用我在标题为“具有均匀段长度的多边形链”标题下提到的方法之一来计算这条新链上的曲率。

但是，找到这样一个点数组并不是一件容易的事，因为我必须选择一个段长度，并且只有在生成点之后，我才能看出结果链的长度是否可以被所选的段长度整除。 / p>

Answer 1

如果你不缩短空间，你提到的最后一个解决方案将是最好的，因为＆＃34;球体＆＃34;你可能已经意识到，逼近会在更极端的情况下产生可怕的结果，尤其是曲率很大或快速变化时。

有许多方法可以进行插值，最简单的方法是二次和三次样条。但是，如果您有更多的预处理时间，拉格朗日多项式会产生非常好的结果：https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial。

关于角度划分方法的旁注，请考虑此图：

（从简单的几何形状开始，内部角度也 theta）

a << l。所以曲率：

因此，对于小曲率，您的逼近实际上正确。

Answer 2

另一种方法是使用局部抛物线近似来估计曲率。基本上，为了估计点P（i）处的曲率，你取P（i-1），P（i）和P（i + 1）并从这3个点构造抛物线。然后，从抛物线计算P（i）处的曲率。记住在构造抛物线时使用弦长（或向心）参数化。