在矩形字段中查找矩形的最近可能位置

Question

我在2D城堡防御上编程，今天我遇到了一个问题，我无法找到一个好的解决方案。见下图：

http://imgur.com/zOe2Muv

我想找到最接近的位置，将红色矩形放在这个矩形区域中而不重叠任何矩形。通过最接近的位置，我指的是最接近当前鼠标位置的位置，因此通常是与任何给定点最接近的位置。

该问题的正确算法是什么？

感谢!!!

Answer 1

这是一个优化问题，你的约束是线性的，你的目标函数是（分段）二次或线性的，这取决于你想要如何定义光标的距离。

假设矩形是由...定义的 x_i, y_i, w_i, h_i for i=1..n 并且红色矩形的大小为w, h，决策变量为红色矩形的x, y位置。

然后是非重叠约束：

所有x >= x_i + w_i的

y >= y_i + h_i或x <= x_i - w或y <= y_i - h或i=1..n

您可以通过多种方式定义目标（红色矩形与光标的距离）：

• 光标与红色矩形的最近点之间的适当Eucledian平方距离（我认为会产生分段二次函数）
• Eucledian与红色矩形中心的平方距离（二次方）
• 距离红色矩形中心的曼哈顿距离（分段线性）

然后，您可以使用quadratic programming solver或MILP（混合整数线性编程）解算器来查找答案。如果矩形的数量不是太大（比如不到一百），那么即使使用GLPK或LP Solve等免费解算器，它也会非常快。

请注意，要正确表达这些求解器的约束，您可能必须转换约束和目标，例如使用big M method作为约束，或transform将问题转换为线性目标。这意味着你将有额外的二进制变量，以及一些更多的约束（附加变量和约束的数量将与矩形的数量成比例）。