答复更新,12/22 : 使用Peter Shor的observation,在立方体的不同部分和对象的排列之间存在同态,通过将一组立方体对称性表示为SymmetricGroup [8]的子组并使用GroupElements / Permute,找到质心来列出所有这些排列,找到质心使用Mathematica的SAT求解器进行赋值,选择具有不同奇异值的点集,更少的细节和给出的完整代码here
问题
一个有趣的2D剖面是一个穿过常规3D simplex中心的平面和另外两个点,每个点都是一些非空顶点子集的质心。它由两个顶点子集定义。例如{{1},{1,2}}给出一个由3个点定义的平面 - 四面体的中心,第一个顶点,以及第一个和第二个顶点的平均值。
一组有趣的部分是一个集合,其中没有两个部分在顶点重新标记下定义相同的平面。例如,设置{{{1},{2}},{{3},{4}}}并不有趣。有没有一种有效的方法来找到一组有趣的部分?我需要的东西可以推广到7D单形3D截面的类似问题,并在一夜之间完成。
我的尝试方法如下。一个问题是,如果你忽略几何,一些等效的部分将被保留,所以我得到10个部分而不是3.更大的问题是我使用蛮力并且它肯定不会扩展和(需要10 ^ 17比较7D单纯形
http://yaroslavvb.com/upload/simplex-sections.png
以下是生成上述图片的Mathematica代码。
entropy[vec_] := Total[Table[p Log[p], {p, vec}]];
hadamard = KroneckerProduct @@ Table[{{1, 1}, {1, -1}}, {2}];
(* rows of hadamard matrix give simplex vertex coordinates *)
vertices = hadamard;
invHad = Inverse[hadamard];
m = {m1, m2, m3, m4};
vs = Range[4];
(* take a set of vertex averages, generate all combinations arising \
from labeling of vertices *)
vertexPermutations[set_] := (
newSets = set /. Thread[vs -> #] & /@ Permutations[vs];
Map[Sort, newSets, {2}]
);
(* anchors used to define a section plane *)
sectionAnchors = Subsets[{1, 2, 3, 4}, {1, 3}];
(* all sets of anchor combinations with centroid anchor always \
included *)
anchorSets = Subsets[sectionAnchors, {2}];
anchorSets = Prepend[#, {1, 2, 3, 4}] & /@ anchorSets;
anchorSets = Map[Sort, anchorSets, {2}];
setEquivalent[set1_, set2_] := MemberQ[vertexPermutations[set1], set2];
equivalenceMatrix =
Table[Boole[setEquivalent[set1, set2]], {set1, anchorSets}, {set2,
anchorSets}];
Needs["GraphUtilities`"];
(* Representatives of "vertex-relabeling" equivalence classes of \
ancher sets *)
reps = First /@ StrongComponents[equivalenceMatrix];
average[verts_] := Total[vertices[[#]] & /@ verts]/Length[verts];
makeSection2D[vars_, {p0_, p1_, p2_}] := Module[{},
v1 = p1 - p0 // Normalize;
v2 = p2 - p0;
v2 = v2 - (v1.v2) v1 // Normalize;
Thread[vars -> (p0 + v1 x + v2 y)]
];
plotSection2D[f_, pointset_] := (
simplex =
Graphics3D[{Yellow, Opacity[.2],
GraphicsComplex[Transpose@Rest@hadamard,
Polygon[Subsets[{1, 2, 3, 4}, {3}]]]}];
anchors = average /@ pointset;
section = makeSection2D[m, anchors];
rf = Function @@ ({{x, y, z, u, v},
And @@ Thread[invHad.{1, x, y, z} > 0]});
mf = Function @@ {{p1, p2, p3, x, y}, f[invHad.m /. section]};
sectionPlot =
ParametricPlot3D @@ {Rest[m] /. section, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
RegionFunction -> rf, MeshFunctions -> {mf}};
anchorPlot = Graphics3D[Sphere[Rest[#], .05] & /@ anchors];
Show[simplex, sectionPlot, anchorPlot]
);
plots = Table[
plotSection2D[entropy, anchorSets[[rep]]], {rep, reps}];
GraphicsGrid[Partition[plots, 3]]
答案 0 :(得分:4)
正确的编程解决方案是:
在顶点标签的排列下,四面体是完全对称的。因此,任何“有趣的部分”等同于仅包含顶点的前导部分的另一部分 - 即可以在某些n的顶点Range [1,n]中识别。
收集上述内容后,我们发现从一个有趣的部分到一组图表有一个偏见。对于每个图,我们必须枚举一致的顶点成员资格(稍后描述)。除了一个顶点,图的顶点成对出现
在三维的情况下,有四个顶点,我们得到以下几组(我们使用短投影对,因为在这个例子中有足够的可见性,不需要更简单的顶点标签拒绝规则):
0:{1,2,3,4}的投射对
1:{1}
1':{2},{3},{4}
2:{1,2},{1,3},{1,4}
2':投射对2(如此省略)
3:投射对1'(如此省略)
3':投影对为1(如此省略)
标签限制:
{0→X,X}
{0→X”,X}
{1-> 1,1} - 不允许:中心不包括两次
{1→1' ,0}
{1→2,1}
{2→2,1}
这些图顶点不可能有其他权重。
图表是0上的K_ {3}事件,以下图表在图表选择规则中存活:
A:{0-> 1,1},{0-> 1',1},{1-> 1',0}
B:{0-> 2,2},{0-> 2,2},{2-> 2,1}
A只有一个标签:{1},{2},{}并且是您的三角形有趣集合。这个标签没有零决定因素 B只有一个标签:{1,2},{1,3},{}并且是你方形的有趣集合。这个标签没有零决定因素。
转换为代码留给读者一个练习(因为我必须离开工作)。