“通过某个常数乘以函数不会改变它的渐近行为”的含义

Question

如果我将它乘以一些常数“K”＆amp;，我已经大致将其理解为函数f（n）。 f（n）= O（g（n））:: f（n）＆lt; = cg（n）对于某些n> = n1然后如果我使f（n）为K f（n）那么那里必须是一些其他常数c1，通过它我们可以将g（n）和上限（设置一个更高的限制）乘以K f（n）。

我发现难以理解的是书中给出的正确的数学解释：

Answer 1

我们假设我们知道函数f(n)位于O(g(n)。这意味着，存在n0和c，以便：

f(n) <= c * g(n) \forall n >= n0

现在，如果我们分析K * f(n)，则从上面的定义得出：

K * f(n) <= K * c * g(n) \forall n >= n0

我们观察到K * c再次成为常数。因此，我们可以引入另一个常量c' = K * c并写入：

K * f(n) <= c' * g(n) \forall n >= n0

这正是上面的大O定义。最后：

K * f(n) \in O(g(n))

这只是另一个常数。

Answer 2

它只是意味着无论恒定时间是什么，渐近行为保持不变。例如：

int fact;
for (fact=1;n>1;n--)  fact*=n;

是简单的O(n)阶乘，具有恒定时间c，由循环的单次迭代和乘法fact*=n给出。将此乘以常数意味着c已更改，例如：

int fact;
for (fact=1;n>1;n--)  
 if (bits(fact)+bits(n)<32)
  fact*=n;

现在c更大了，因为我将条件添加到循环中需要一些时间。但是O(n)仍然存在。运行时有什么变化。另一方面，如果我改变这样的代码：

int fact;
for (fact=1;n>1;n--)  
 if (bits(fact)+bits(n)<32) fact*=n;
  else break;

然后我不仅更改了常量时间c，还更改了O(1)的基本渐近上限，因为无论有多大n，当结果达到32位限制时，这将停止这将是足够大的n步长的恒定时间，但这不会乘以粗常数。