需要证明从右到左二进制方法的时间复杂度，用于模幂运算

Question

我已经使用Right-to-Left Method来实现模幂运算的算法，但是我的教授说它的时间复杂度不能是O（log exponent），维基百科也不是可靠的源。

无论如何，我检查了伪代码的来源，但没有说明时间复杂度。任何人都可以帮我找到有效的学术资源吗？

Answer 1

您不需要学术资源来获取您可以自己安全获得的东西。

当您使用从右向左方法执行模幂运算时，您会从两个n位数开始，b和m以及k位指数e。

modular_pow(b, m, e)
    if m = 1 {
        return 0
    }
    res = 1
    b = b mod m
    while e != 0
        if e mod 2 == 1 {
           res := (res * b) mod m
        }
        e >>= 1
        b = (b * b) mod m
    return res

在循环停止之前执行指数k的{​​{1}}位移，这相当于执行log ₂ e除以2.循环的每一步执行一次或两次乘法，以及一次或两次mod操作。这导致O（k * M（n））的总时间复杂度，其中M（n）是乘法算法的时间复杂度。

  

教授说它的时间复杂度不能是O（log exponent）

在特定条件下，时间复杂度可以是O（log exponent） - M（n）的时间复杂度是O（1）。这适用于大多数现代CPU上的原始数字。

最有可能的是，你的教授正在谈论一个更有趣的案例 - 即，当e和b是m - 数字时，n没有实际上限。

This page列出了M（n）的可能时间复杂度，具体取决于乘法算法。对于Fürer算法，复杂程度范围从教科书长乘法的O（n ² ）到O（n * log n * 2 ^{O（log * n）}）。