Question

给定一个2D点p，我试图计算该点与功能曲线之间的最小距离，即找到曲线上的点，它给出了f(x) = 2*sin(x)的最小距离，然后计算那个距离。我正在使用的示例函数是

我对某个点def dist(p, x, func): x = np.append(x, func(x)) return sum([[i - j]**2 for i,j in zip(x,p)])与提供的函数之间距离的距离函数是

它作为输入，点x，函数上的位置func和函数句柄bounds = [0, 2*np.pi]。注意这是一个平方欧几里德距离（因为欧几里得空间的最小化与平方欧几里德空间的最小化相同）。

这个的关键部分是我希望能够为我的函数提供边界，所以我找到了距离函数段最近的距离。对于这个例子，我的界限是

scipy.optimize.minimize

我正在使用{{1}}函数来最小化我的距离函数，使用边界。上述过程的结果如下图所示。

这是显示与sin函数的距离的等高线图。请注意轮廓中是否存在不连续性。为方便起见，我在不连续点和它们映射到的曲线上的“壁橱”点上绘制了几个点。

这里实际发生的是scipy函数是找到局部最小值（给出一些初始猜测），但不是全局函数，这导致了不连续性。我知道找到任何函数的全局最小值是不可能的，但我正在寻找一种更可靠的方法来找到全局最小值。

找到全局最小值的可能方法是

选择一个聪明的初始猜测，但这相当于大致了解全局最小值的开始位置，这是使用问题的解决方案来解决它。
使用多个初始猜测并选择达到最佳最低要求的答案。然而，这似乎是一个糟糕的选择，特别是当我的函数变得更复杂（和更高维度）时。
找到最小值，然后扰乱解决方案并再次找到最小值，希望我可能已将它打到更好的最小值。我希望可能有一些方法可以做到这一点，而不需要引用一些复杂的MCMC算法或类似的东西。此过程的速度很重要。

关于最佳解决方法的建议，或可能解决此问题的有用功能的方向都会很棒！

Answer 1

根据评论中的建议，您可以尝试使用全局优化算法，例如scipy.optimize.differential_evolution。但是，在这种情况下，如果您具有明确且易于分析的目标函数，则可以采用半分析方法，充分利用一阶必要条件。

在下文中，第一个函数是距离度量，第二个函数是其导数w.r.t的（分子）。 x，如果某个0<x<2*np.pi出现最小值，则该值应为零。

import numpy as np    
def d(x, p):
    return np.sum((p-np.array([x,2*np.sin(x)]))**2)

def diff_d(x, p):
    return -2 * p[0] + 2 * x - 4 * p[1] * np.cos(x) + 4 * np.sin(2*x)

现在，给定一个点p，d(x,p)的唯一潜在最小值是diff_d(x,p)（如果有）的根，以及边界点x=0和x=2*np.pi。事实证明diff_d可能有多个根。注意到导数是一个连续函数，pychebfun库提供了一种非常有效的方法来查找所有根，避免了基于scipy根寻找算法的繁琐方法。

以下函数为给定点d(x, p)提供了p的最小值：

import pychebfun
def min_dist(p):
    f_cheb = pychebfun.Chebfun.from_function(lambda x: diff_d(x, p), domain = (0,2*np.pi))
    potential_minimizers = np.r_[0, f_cheb.roots(), 2*np.pi]
    return np.min([d(x, p) for x in potential_minimizers])

结果如下：

使用scipy.optimize.minimize查找全局最小值

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