Question

我有两种硬币（每种类型的无限硬币）。这两个硬币的值是 x和y 。我必须支付一笔费用 B 。

我需要支付的最低金额为提示。

tip can be any value >=0

目标是尽量减少小费。

我正在考虑动态编程方法。或者任何更快的方法。请帮忙。

function minTip(x,y,B){
    if(z<=0) return -z;
    return minimum( minTip(x,y,B-x),minTip(x,y,B-y) );
}

任何人都可以帮助DP方法。??

Answer 1

你不需要DP来解决这个问题。

首先，请注意您可以假设硬币是互质的。因为如果他们不是那么你只能生成gcd的倍数。然后让g = gcd（x，y）并使用硬币x / g和y / g解决使细胞尖端T（B / g）最小化的问题。然后原始问题的解是T * g + g * ceil（B / g） - B。

如果x和y 是互质，那么你无法生成的最大数字是xy - x - y。（见：https://math.stackexchange.com/questions/66963/largest-integer-that-cant-be-represented-as-a-non-negative-linear-combination-o）

所以，如果B> xy - x - y，然后你保证能够用0提示付款。

否则，您可以通过尝试硬币x的每种可能组合（然后使用最小数量的y来制作至少B）来使用强力来找到解决方案。由于B < xy，大约是y个不同的值。通过在必要时交换硬币，这意味着我们可以在最坏的情况下在O（min（x，y））时间内解决问题。

将它们组合成一个程序：

def gcd(x, y): x, y = min(x, y), max(x, y) while x != 0: x, y = y % x, x return y def tip(x, y, B): g = gcd(x, y) if g != 1: nB = (B + g - 1) // g T = tip(x // g, y // g, (B + g - 1) // g) return T * g + nB * g - B if B > x * y - x - y: # We're guaranteed to be able to make B exactly. return 0 # Swap the coins if necessary so that x is the larger one. x, y = max(x, y), min(x, y) T = B # Try 0, 1, 2, ... B//x+1 of the x coin. # More than this isn't necessary since (B//x+1)*x # is already greater than or equal to B. for i in xrange(B // x + 2): # j is the smallest number of y coins # such that ix + jy >= B. j = max(0, (B - i * x + y - 1) // y) T = min(T, i * x + j * y - B) return T print tip(7, 12, 20)

Answer 2

您可以通过使用最大值进行模运算来识别解决方案，并使用小值对第一个运算的余数进行模数运算。您可以循环直到找到最大偏差。可以在以下bin中找到工作代码。

http://jsbin.com/fivikoh/edit?js,console

tipReduce(x,y,z) {
     //find minimum and maximum from x and y
     //find the quotient by dividing z with maxValue
     for(//decrease the quotient till 0) {
      //multiply the quotient with max and the divide the reminder
      //with min value, if the reminder is the zero 'return' it, it is the
      //answer. else store the reminder to find the maximum value of the
      //reminder later. That is used for the tip

        var result =  k * maxValue;
       var reminder =  z - result;
       var reminderDivision = reminder % minValue;
       var divisionWithMinValue = Math.floor(reminder/minValue);
       var calcDifference = z - (result + (divisionWithMinValue *     minValue));
    if(calcDifference > smallestPossible) {
     smallestPossible = calcDifference;
     rememberValues = [k, divisionWithMinValue];

    }
    if(reminderDivision === 0) {
      return [{denom: maxValue, count:k},
            {denom:minValue, count: (reminder/minValue)},
            {tip:0}
           ];
      }
  }

输出函数位于最后一行但是一行。使用它来测试不同的值。

Answer 3

Mixed-Integer Programming方法可能快得多（与DP相比）。

这是一个示例实现（使用python和cvxpy构建）：

from cvxpy import *

x_y_vals = [3,7]

def solve(vals, amount):
    vars = Int(2)
    constraints = [sum_entries(mul_elemwise(vals, vars)) >= amount,
                   vars >= 0]
    objective = Minimize(sum_entries(mul_elemwise(vals, vars)))

    prob = Problem(objective, constraints)
    prob.solve(solver=CBC)
    print("status:", prob.status)
    print("optimal diff", prob.value)
    print("optimal var", vars.value)

solve(x_y_vals, 300)

呼叫：

solve(x_y_vals, 300)

输出：

('status:', 'optimal')
('optimal diff', 300.0)
('optimal var', matrix([[  2.],
        [ 42.]]))

编辑：正如 Paul Hankin 所指出的那样（谢谢！），出现了建模错误。我修好了。

备注： CVXPY中的默认MIP解算器仅适用于玩具问题，因此我们需要更好的求解器（或者遇到数字问题）。在这里，我们使用 cvxpy 支持的cbc，但需要手动安装（请参阅文档）。

Answer 4

使用DP（arbitrary example）

获取一些硬币更换问题解决方案

制作数组长度B + 1 + min(x, y)

填写此数组（此处您不需要计数，只有0/1可以进行总和）

在索引范围[B..B + min（x，y）]

中寻找具有1个值的最小条目

仅使用两种硬币（x，y）支付账单金额B的最小提示

4 个答案: