Sigmoidal曲线拟合，当y = 0.5时如何得到x的值

Question

我想解决以下函数，以便在拟合之后，我想在x时得到y=0.5的值。

功能：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

def sigmoid(x, b, c):
    y = 1 / (1 + c*np.exp(-b*x))
    return y

x_data = [4, 6, 8, 10]
y_data = [0.86, 0.73, 0.53, 0.3]

popt, pcov = curve_fit(sigmoid, x_data, y_data,(28.14,-0.25))

请解释如何使用python执行此操作！ 谢谢！

Answer 1

当我运行您的代码时，我会收到警告，popt与您的初始猜测(28.14, -0.25)相同。如果您尝试绘制此图，您会发现它基本上是y == 1的直线，根本不适合您的数据：

from matplotlib import pyplot as plt

x = np.linspace(4, 10, 1000)
y = sigmoid(x, *popt)

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
ax.hold(True)
ax.scatter(x_data, y_data, s=50, zorder=20)
ax.plot(x, y, '-k', lw=2)

问题是您正在使用b参数的负值进行初始化。请记住，b被否定，因此您实际上会将x次正次数取幂，这会打破您的分母。相反，您希望使用b的正值初始化，但可能是c的负值（为了给出负斜率）：

popt2, pcov2 = curve_fit(sigmoid, x_data, y_data, (-0.5, 0.1))
y2 = sigmoid(x, *popt2)

ax.plot(x, y2, '-r', lw=2)

要使用非线性优化获得x y == 0.5的值，您需要定义一个目标函数，该函数可以是0.5和sigmoid(x, b, c)之差的平方：

def objective(x, b, c):
    return (0.5 - sigmoid(x, b, c)) ** 2

然后，您可以使用scipy.optimize.minimize或scipy.optimize.minimize_scalar查找最小化目标函数的x值：

from scipy.optimize import minimize_scalar

res = minimize_scalar(objective, bracket=(4, 10), args=tuple(popt2))
ax.annotate("$y = 0.5$", (res.x, 0.5), (30, 30), textcoords='offset points',
            arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05), fontsize='x-large')