Question

我正在编写一个具有数学函数作为属性的类，比如 f 。

f 是：

在真实细分上定义[-w; + w]
正面并以真实的H
even（对于[-w; + w]中的所有x，f（x）= f（-x））和f（w）= f（-w）= 0
与[-w; + w]相区别，其衍生物为正 - 连续[-w; 0]

我的班级看起来像：

from scipy.misc import derivative
from scipy.integrate import quad
from math import cosh, sqrt

class Function(object):

    w = 1.
    PRECISION = 1e-6    

    def f(self, x):
        '''This is an example but f could be 
           any math function matching requirments above.
        '''
        return 0.5+1.07432*(1-cosh(x/1.07432)) 

    def deriv_f(self, x):
        return derivative(self.f, x, self.PRECISION)

    def x_to_arc_length(self, x):
        def func(x): 
            return sqrt(1+self.deriv_f(x)**2)
        return quad(func, -self.w, x)[0]

    def arc_length_to_x(self, L):
        bound = [-self.w, self.w]
        while bound[1]-bound[0] > self.PRECISION:
            mid= sum(bound)/2
            bound[(self.x_to_arc_length(mid)-L > 0)] = mid
        return sum(bound)/2

我使用二分法来反转弧长方法，但我正在考虑将其更改为scipy.optimize根寻找方法之一以获得速度。我是scipy的新手，必须承认我的数学有点生锈...... Scipy让我可以选择brentq，brenh，ridder，bisect和newton。

有人能指出我最适合这种情况的方法吗？或者也许有一个更好的库？

Answer 1

我不是Python的专家，但我从数值分析中知道，在你列出的方法中（Brent，bisection，Ridder＆＃39方法和Newton-Raphson），布伦特的方法是通常优先用于单个实变量 x 的通用实数标量函数 f 。正如您可以阅读here，如果 f 是连续的，并且该方法应用于间隔[a，b]，其中 f（a）f（b） ＆lt; 0，然后布伦特的方法保证收敛到零，就像二分法一样。对于许多表现良好的函数，Brent的方法收敛速度比二分法快得多，但在一些不幸的情况下，它可能需要 N ^ 2 迭代，其中 N 是实现给定容差的二分迭代次数。

另一方面，

Newton's method通常在收敛时比布伦特收敛得快，但有时它根本不收敛。对于相同的功能，牛顿方法可能会或可能不会聚，这也取决于起点和根之间的距离。因此，在通用代码中使用它的风险更高。

关于brentq和brenth之间的选择，it looks like它们应该非常相似，第一个更加严格测试。因此，您可以选择brentq，或者，如果您有时间，可以在它们之间进行一些基准测试。

Answer 2

根据DeltaIV的回答，我根据上面的例子对不同选项进行了基准测试。

 2000    0.005    0.000   10.395    0.005 diff.py:42(arc_length_to_x_newton)
 2000    0.005    0.000   16.842    0.008 diff.py:36(arc_length_to_x_brenth)
 2000    0.005    0.000   17.141    0.009 diff.py:30(arc_length_to_x_brentq)
 2000    0.005    0.000   26.375    0.013 diff.py:48(arc_length_to_x_ridder)
 2000    0.005    0.000   72.249    0.036 diff.py:54(arc_length_to_x_bisect)

在这种情况下，似乎Newton方法是最快的，可能是因为该函数表现良好（即连续和均匀导数下限为1）。

不收敛的风险（固定点，周期或衍生问题）不适用于上述功能，所以我最终选择newton。

Scipy寻根方法

2 个答案: