将并非所有相等的2-Sat Pr0blem转换为等效的2-SAT prolblem

Question

我正在查看以前的试卷，并且遇到了这个困扰我的问题。

问题：

  

将子句{x1, x2}, {x2, x3}, {x3, x4}, {x4, x5}, {x5, x1}给出的Not-All-Equal 2-SAT问题转换为等效的2-SAT问题。 （提示：2-SAT问题包含10个条款）。

根据我的理解，这是否只是在每个条款中找到每个字面的否定？例如，{x1, x2} = {-x1, -x2}，这是为每个子句完成的吗？ 它是否正确？

Answer 1

这是正确的。具体而言，将所有子句(x ∨ y)替换为(x ∨ y) ∧ (~x ∨ ~y)。字面意思是＆＃34; x或y必须为真，x或y必须为假＆＃34;或等效地＃34;满足(x ∨ y)，同时确保x之一而y是假的＆＃34;。

为了证明等效性，我们首先假设NAE 2-SAT问题是可以满足的。设A是一个令人满意的赋值，让{x, y}成为一个任意子句。由于x和y中只有一个为真，这意味着(x ∨ y) ∧ (~x ∨ ~y)为真。因此，满足2-SAT公式中相应的两个条款。由于{x, y}被任意选择，我们得出结论，A满足2-SAT公式中的所有条款。

相反，让我们假设NAE 2-SAT不可满足。也就是说，对于任何赋值，都存在一些{x, y} x和y都为真或两者都为假的子句{x, y}。设A是任意选择的赋值，让x = y成为A不满足的子句（在NAE 2-SAT中）。从(x ∨ y) ∧ (~x ∨ ~y)开始，这意味着while为假（因为连接的一半将为假）。因此，A不满足2-SAT公式。由于A是任意选择的，我们得出结论，没有任何指配满足2-SAT公式。