Question

我在Haskell实施了四项De Morgan定律中的三项：

notAandNotB :: (a -> c, b -> c) -> Either a b -> c
notAandNotB (f, g) (Left x)  = f x
notAandNotB (f, g) (Right y) = g y

notAorB :: (Either a b -> c) -> (a -> c, b -> c)
notAorB f = (f . Left, f . Right)

notAorNotB :: Either (a -> c) (b -> c) -> (a, b) -> c
notAorNotB (Left f)  (x, y) = f x
notAorNotB (Right g) (x, y) = g y

但是，我不认为可以实施最后一项法律（有两个居民）：

notAandBLeft  :: ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBLeft  f = Left  (\a -> f (a, ?))

notAandBRight :: ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBRight f = Right (\b -> f (?, b))

我认为，有两种可能的解决方案：

使用undefined代替?。这不是一个好的解决方案，因为它是作弊。

使用单态类型或有界多态类型来编码默认值。

notAandBLeft  :: Monoid b => ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBLeft  f = Left  (\a -> f (a, mempty))

notAandBRight :: Monoid a => ((a, b) -> c) -> Either (a -> c) (b -> c)
notAandBRight f = Right (\b -> f (mempty, b))

这不是一个好的解决方案，因为这是一个比德摩根定律更弱的法律。

我们知道De Morgan的定律是正确的，但我认为最后的定律不能用Haskell编码是正确的吗？这对库里 - 霍华德同构有什么看法？如果每个证据都不能转换成等效的计算机程序，那么它并不是真正的同构，对吗？

Answer 1

第四项法律是not intuitionistic。你需要被排除在中间的公理：

lem :: Either a (a -> c)

或皮尔斯法则：

pierce :: ((a -> c) -> c) -> a

证明这一点。

Answer 2

有一点让我感到高兴的是，你似乎没有在任何地方使用定义或任何否定的属性。

在阅读Haskell Wikibooks article on the CHI后，这是一个证据，假设你有一个排除中间的定律作为一个定理：

exc_middle :: Either a (a -> Void)

并且notAandB de Morgan法律的证明就像：

notAandB' :: Either a (a -> Void) -> ((a,b) -> Void) -> Either (a -> Void) (b -> Void)
notAandB' (Right notA) _ = Left notA
notAandB' (Left a)     f = Right (\b -> f (a,b))

notAandB = notAandB' exc_middle

通过库里 - 霍华德通信的德摩根在哈斯克尔的定律

2 个答案: