Question

假设我们有2个常数A＆amp; B和变量i，所有64位整数。我们想要计算一个简单的通用算术运算，例如：

i * A / B    (1)

为了简化问题，我们假设变量i始终在[INT64_MIN*B/A, INT64_MAX*B/A]范围内，因此算术运算（1）的最终结果不会溢出（即：适合在[INT64_MIN, INT64_MAX]）范围内。

此外，假设i更有可能在友好范围 Range1 = [INT64_MIN/A, INT64_MAX/A]（即：接近0），但i可能（不太可能）超出此范围。在第一种情况下，i * A的平凡整数计算不会溢出（这就是我们调用范围友好的原因）;在后一种情况下，i * A的平凡整数计算会溢出，导致计算（1）的错误结果。

什么是“最安全”和“最有效”的计算操作方式（1）（其中“最安全”意味着：保持精确度或至少相当精确，“最有效”意味着：最低平均计算时间），提供i更有可能在友好范围 Range1 。

目前，代码中当前实现的解决方案如下：

(int64_t)((double)A / B * i)

哪个解决方案非常安全（没有溢出）虽然不准确（由于双重有效位和53位限制导致的精度损失）并且非常快，因为在编译时预先计算了双除(double)A / B，只计算了一个双乘法在运行时。

Answer 1

如果您无法在所涉及的范围内获得更好的界限，那么您最好关注iammilind's advice以使用__int128。

原因在于，否则你必须实现双字乘法和双字逐字的完整逻辑。英特尔和AMD处理器手册包含有用的信息和现成的代码，但它非常复杂，使用C / C ++而不是汇编程序会使事情变得更加复杂。

所有优秀的编译器都将有用的原语作为内在函数。 Microsoft's list似乎不包含类似muldiv的原语，但__mul128内在函数将128位乘积的两半作为两个64位整数。基于此，您可以执行两位数的长除以一位数，其中一个“数字”将是64位整数（通常称为“肢体”，因为大于数字但仍然只是整数的一部分）。仍然相当复杂，但比使用纯C / C ++要好很多。但是，可移植性并不比直接使用__int128好。至少那种方式，编译器实现者已经为你完成了所有艰苦的工作。

如果您的应用程序域可以为您提供有用的界限，那么(u % d) * v不会溢出，那么您可以使用身份

(u * v) / d = (u / d) * v + ((u % d) * v) / d

其中/表示整数除法，只要u为非负且d为正（否则您可能会与运算符%的语义允许的余地相冲突）。

在任何情况下，您可能必须分离出操作数的符号并使用无符号运算，以便找到可以利用的更有用的机制 - 或者避免编译器的破坏，例如您提到的饱和乘法。有符号整数运算的溢出会调用未定义的行为，编译器可以随心所欲地执行任何操作。相比之下，无符号类型的溢出是明确定义的。

此外，对于未签名的类型，您可以使用s = a (+) b（其中(+)可能会溢出无符号添加）的规则回退，您将拥有s == a + b或{{1} }，它可以让您通过廉价操作检测溢出。

然而，你不太可能在这条道路上走得更远，因为所需的努力很快接近 - 甚至超过 - 我实施前面提到的双肢操作的努力。只有对应用程序域进行全面分析才能提供规划/部署此类快捷方式所需的信息。在一般情况下，你给出的界限几乎没有运气。

Answer 2

为了提供问题的量化答案，我在本文中提出了不同解决方案的基准，作为本文提出的解决方案的一部分（感谢评论和答案）。

基准测量不同实现的计算时间，i在友好范围 Range1 = [INT64_MIN/A, INT64_MAX/A]内，以及{{1}时}}在友好范围之外（但在安全范围 Range2 = i）。

每个实施都执行一个＆＃34; safe＆＃34; （即没有溢出）计算操作：[INT64_MIN*B/A, INT64_MAX*B/A]（第一种实现除外，作为参考计算时间给出）。但是，某些实现可能会返回不常见的不准确计算结果（通知该行为）。

提出的一些解决方案尚未经过测试或未在下文列出;这些是：使用i * A / B的解决方案（ms vc编译器不支持），但已使用boost __int128;使用扩展80位int128_t的解决方案（ms vc编译器不支持）;使用long double的解决方案（工作和测试虽然太慢而不能成为一个像样的竞争对手）。

时间测量以ps / op指定（每次操作的皮秒）。 Benchmark平台是Windows 7 x64下的Intel Q6600 @ 3GHz，可执行文件使用MS vc14，x64 / Release target编译。以下引用的变量，常量和函数定义为：

InfInt

int64_t i; const int64_t A = 1234567891; const int64_t B = 4321987; inline bool in_safe_range(int64_t i) { return (INT64_MIN/A <= i) && (i <= INT64_MAX/A); } [参考]
i Range1 ： 1469 ps / op ， i Range1 ：无关紧要（溢出）
(i * A / B)
我 Range1 ： 10613 ps / op ， i Range1 ： 10606 ps / op
注意：整个范围内不常见的不准确结果（最大错误= 1位） Range2
((int64_t)((double)i * A / B))
我 Range1 ： 1073 ps / op ， i Range1 ： 1071 ps / op
注意：整个范围 Range2 中不常见的不准确结果（最大错误= 1位）注意：编译器可能预先计算((int64_t)((double)A / B * i))，导致观察到的性能提升与之前的解决方案相比。
(double)A / B
我 Range1 ： 2009 ps / op ， i Range1 ： 1606 ps / op
注意： Range1
(!in_safe_range(i) ? (int64_t)((double)A / B * i) : (i * A / B)) [提升((int64_t)((int128_t)i * A / B))]
我 Range1 ： 89924 ps / op ， i Range1 ： 89289 ps / op
注意：提升int128_t在替补平台上表现非常糟糕（不知道为什么）
int128_t
我 Range1 ： 5876 ps / op ， i Range1 ： 5879 ps / op
((i / B) * A + ((i % B) * A) / B)
我 Range1 ： 1999 ps / op ， i Range1 ： 6135 ps / op

<强>结论
  a）如果在整个范围 Range2 中可以接受轻微的计算误差，则解（3）是最快的，甚至比作为参考给出的直接整数计算更快。登记/>   b）如果计算错误在友好范围 Range1 中是不可接受的，但在此范围之外仍可接受，则解决方案（4）是最快的。
  c）如果计算错误在整个范围 Range2 中是不可接受的，则解决方案（7）以及友好中的解决方案（4）执行范围 Range1 ，并且在此范围之外保持适当的快速。

Answer 3

I think you can detect the overflow before it happens. In your case of i * A / B, you are only worried about the i * A part because the division cannot overflow.

You can detect the overflow by performing test of bool overflow = i > INT64_MAX / A. You will have to do modify this depending on the sign of operands and result.

Answer 4

Some implementations permit __int128_t. Check if your implementation allows it, so that you can you may use it as placeholder instead of double. Refer below post:
Why isn't there int128_t?

If not very concerned about "fast"-ness, then for good portability I would suggest to use header only C++ library "InfInt".

It is pretty straight forward to use the library. Just create an instance of InfInt class and start using it:
InfInt myint1 = "15432154865413186646848435184100510168404641560358"; 
InfInt myint2 = 156341300544608LL;

myint1 *= --myint2 - 3;
std::cout << myint1 << std::endl;

Answer 5

不确定值限制，(i / B) * A + (i % B) * A / B会有帮助吗？

计算可能溢出的整数运算的最安全，最有效的方法

5 个答案: