Question

我需要在C中编写一个递归函数，对于某个n，它会计算不具有三个连续数字1的n位二进制数的数量。

例如，对于n = 3，所有可能的3位数都是： 000 001 010 011 100 101 110 111

所以函数返回7，因为只有一个数字有三个1。

到目前为止，我甚至不知道从哪里开始。我无法看到任何可以帮助我的算法。

任何帮助将不胜感激。感谢。

Answer 1

让我们构建一个从左到右没有三个连续的数字。

它必须以最多两个1开始，因此它从无1，单个1或两个1开始。换句话说，我们的数字从0,10或110开始。在所有这些情况下，对数字的其余部分的唯一限制是它不包含任何三个连续的，所以这允许我们应用相同的函数递归：

#include <stdint.h>
#include <stddef.h>

uint64_t nothreeconsecutive(int n) {
    if (n <= 2) return 1 << n;
    return nothreeconsecutive(n-1) + nothreeconsecutive(n-2) + nothreeconsecutive(n-3);
}

Answer 2

首先观察 don t 包含三个相邻设置位的n位二进制数的数量是pow(2, n)减去n的数量位号与三个相邻的设置位。

此外，设置了三个相邻位的长度n的二进制数的数量是长度n-1的数量的两倍（最后一位的两个值都导致具有三个相邻位的数字） set），加上设置了初始两位的长度为n-1的二进制数的数量（对于设置新位的情况），减去长度n-1的数量和设置的两个初始位之前已经设置了三个相邻位（因为它们已被计数一次）。

因此，在更改返回类型以使计算更长的序列后，问题的解决方案可能如下所示：

#include <stdint.h>
#include <stddef.h>

uint64_t twoadjstart(int a)
{
  /*returns the number of binary numbers with a bits that have no more than 2 adjacent initial set bits.*/
  if (a < 2)
    return 0;
  if (a == 2)
    return 1;
  return UINT64_C(1) << (a - 3);
}

uint64_t recuadjthree(int a)
{
/*returns the number of binary numbers with a bits that do contain three adjacent set bits.*/
  if (a < 3)
    return 0;
  uint64_t retval = 2*recuadjthree(a-1);
  retval += twoadjstart(a-1);
  retval -= recuadjthree(a-4);
  return retval;
}

uint64_t recunothree(int a)
{
  /*returns the number of binary numbers with a bits that do not contain three adjacent set bits.*/
  uint64_t combi = UINT64_C(1) << a;
  return combi - recuadjthree(a);
}

Answer 3

将数字视为位串，因此问题在于如何找到子串111。关于位的好处是你可以对其进行位移，并尝试屏蔽低三位，并比较它是否为111。试试这个：

bool valid(int n) {
    while (n) {
        if ((n & 0x7) == 7)
             return false;
        n = n >> 1;
    }
    return true;
}

其次，考虑如何获得所有n位数。您可以很容易地注意到这些数字来自所有0到0的所有数字，因此您可以循环遍历所有这些数字，并在第一步中使用该函数检查每个数字。 / p>

现在你有了一个迭代解决方案，想一想如何实现与递归相同的东西。

Answer 4

以下是错误的（部分）解决方案（由@EOF指出）。

我将离开错误的解决方案，因此评论将有意义，并且寻找正确解决方案的人可以从错误中吸取教训。

错误：此解决方案仅涉及n位数，最后3位设置为1，忽略了1的可能性位将位于数字的中间。

可能：完成此解决方案需要我们一次又一次地将n-1（直到n == 0）的解决方案从解决方案中减去n。< / p>

#include <stdio.h>

#define pow2(n) ipow(2,n);

int solution(int n)
{
   if(n <= 2)
     return pow2(n);
   return pow2(n) - pow2(n-3);
   // The return statement, after the `if`, should probably have been:
   return pow2(n) - pow2(n-3) - solution(n-1);
}

int main()
{
   int n = 7;
   printf("The solution for n = %d is %d", n, solution(n));
}

我的逻辑：

如果有n位，那么可能的数字（包括0）的数量是2 ^ n（n的幂为2）。

在n位数中，有n-2种方式来拟合三个连续的设置位（0b111，0b1110，0b11100）...这是IF n＆gt; 2。

正如评论中所指出的，这些数字中的每一个都有非0位可能性（即0b11101以及0b11100）。

所以：

对于n = 3，我们剩下0位（1个可能的数字== 2 ^ 0）
对于n = 4，我们剩下1位（2个可能的数字== 2 ^ 1）
对于n = 5，我们有2个剩余的位，分开或一起（4个可能的解决方案== 2 ^ 2）。

等...

这些可能性是剩余比特（n-3）的幂的2。

...我怀疑比特的位置是重要的，我们知道我们对所有可能的数字都有2 ^ n个排列，如果三个比特相同，那么我们有2 ^（n-3）个排列数字。

感谢KlasLindbäck和EOF的指示。

递归C函数

4 个答案: