将多项式拟合到函数的最大值

Question

我想将多项式拟合到噪声数据，以使近似多项式始终> =原始数据。例如：

x = linspace (-2, 6);
y = (x-2).^2 + 1 + 2 * randn (size (x));

function ret = delta (P, x, y)
  yP = polyval (P, x);
  d = yP - y;
  d (d < 0) *= 1000;
  ret = sumsq (d);
endfunction

P0 = polyfit (x, y, 2);
f = @(P) delta (P, x, y);
[P, FVAL] = sqp (P0, f)

xi = linspace (min(x), max(x), 100);
yi = polyval (P, xi);

plot(x, y, xi, yi);
grid on

是否有更好的方法/方法也适用于更高阶的多项式？

简单方法是使用polyfit然后计算max(y-yi)并将其添加为偏移但这不是最佳的...

编辑：我想使用GNU OCtave，但添加了＆＃34; matlab＆＃34;作为标签因为语言和功能类似。

编辑：基于tvo的答案和真实数据：

x = [10 20 30 40 50 60 80 100];
y = [0.2372, 0.1312, 0.0936, 0.0805, 0.0614, 0.0512, 0.0554, 0.1407];

function ret = delta (P, x, y)
  ret = sumsq (polyval (P, x) - y);
endfunction

f = @(P) delta (P, x, y);
h = @(P) polyval(P, x) - y;

P0 = polyfit (x, y, 3);
[P] = sqp (P0, f, [], h)

xi  = linspace (min(x), max(x));
yi  = polyval (P0, xi);
yio = polyval (P, xi);

plot(x, y, xi, yi, ";initial guess;", xi, yio, ";optimized;");
grid on

但正如您所看到的，优化和评估的poly具有点＆lt;不允许的原始点。

Answer 1

你的方法看起来很好，我认为没有理由它不能用于实际的高阶多项式。如果您认为无法使用，请解释原因。

您正在使用Octave＆＃39; sqp＆＃39;求解。文档在这里：http://www.gnu.org/software/octave/doc/v4.0.1/Nonlinear-Programming.html

当它为负时，您可能希望避免将错误乘以任意数字（在您的示例中为1000）。对于不同的数据集，这可能会失败，特别是如果它们更大，即更多的数据点。

您可以尝试使用Octave＆＃39; sqp＆＃39;的非线性不等式约束选项。提议，即h（x）> = 0（见doc）。

作为目标函数phi，您可以使用平方范数误差（如示例中所示），并为每个数据点添加形式h（x）＆gt; = 0的约束。请注意＆＃39; x＆＃39;是你想要拟合的多项式系数，而h（x）是在特定数据点评估的多项式。

例如：

phi = @(P) delta_mod (P, x, y); % mod: Don't increase the importance of negative residuals!!
h = @(P) polyval(P, x1) - y1;

Psol = sqp(P0, phi, [], h);

请注意约束函数＆＃39; h＆＃39;确保多项式将位于（x1，y1）之上，并且目标函数为“phi”。会尽量保持尽可能接近。你可以扩展＆＃39; h＆＃39;为集合中的每个数据点包含一个约束（请参阅doc）。