挑选元素以最大化总和

Question

我有一个包含正整数值的4乘n矩阵。我想从每一行中选择一个值，以便我们将M_ {1，j_1}，M_ {2，j_2}，M_ {3，j_4}，M_ {4，j_4}作为输出主题如下：

• 和M_ {1，j_1} + M_ {2，j_2} + M_ {3，j_4}，+ M_ {4，j_4}尽可能大。
• M_ {1，j_1}，＆LT; M_ {2，j_2}＆lt; M_ {3，j_4}＆lt; M_ {4，j_4}
• j_1＆lt; j_2＆lt; j_3＆lt; j_4

这是否有快速算法？

Answer 1

让我们从仅有2行的简单情况开始：按顺序递增j_2并检查每个M_ {2，j_2}，同时跟踪最佳M_ {1，j_1}值（最大M_ {1，j_1}对于j_1

获得最佳M_ {1，j_1}值的一种显而易见的方法是保持（不断增长）二进制搜索树的M_ {1,1}的值.M_ {1，j_2-1}第一个前缀行，并在此树中查找M_ {2，j_2}值的前导。但这会导致次优O（n log n）算法。

对于O（n）时间复杂度，我们需要一个更简单的数据结构：堆栈。在将第一行的某些元素添加到堆栈之前，从堆栈中弹出小于或等于当前元素的所有内容（这会使堆栈保持强烈递减的顺序）。当搜索M_ {2，j_2}值的前导时，也从堆栈中弹出小于或等于M_ {2，j_2}的所有内容，除了最后一个这样的值，并将其用作最佳M_ {1，j_1}值。

要添加第三行，只需将2行方法应用于前2行和第3行的最大值。要添加第四行，请再次应用相同的算法。

整个算法将扫描矩阵3次，同时它将元素向/从堆栈推送和弹出最多3 * n次，因此其时间复杂度为O（n）。如果我们在运行中计算前缀最大值，则可以消除存储2个中间阵列所需的额外O（n）空间。但是我们仍然需要O（n）空间用于堆栈。如果允许破坏输入矩阵的内容，可以用O（1）额外空间来解决问题：只需重用3行3个堆栈或1个堆栈+ 2个中间数组（尽管如果你实现它会非常棘手）需要报告最佳值的指数。）

Answer 2

我认为你不能在接近2行的线性时间内解决它，所以这样做4似乎不太可能。

我认为最好的方法是动态编程：对于每个连续的行（2..4），找到你可以为该行的每个元素计算的最佳总和（以及产生它的元素，如果需要的话） ，假设您已经计算了较低行的最佳总和;然后在第4行中使用最好的总和。