Question

我认为这个问题可能有点令人困惑。所以，我会先尝试解释一下。

假设给出了两个数的XOR和SUM。（请注意，有多对可能满足此要求。）

例如，如果XOR为5且SUM为9，则满足SUM和XOR的4对。它们是(2, 7)，(3, 6)，(6, 3)，(7, 2)。所以2+7=9和2^7=5。

我只想找到满足SUM和XOR的数量对。所以在我提到的例子中，答案4就足够了。我不需要知道哪些配对满足它们。

我从here处理了这个问题。

我检查了答案here。它提供的O（n）解决方案还不够。

有一个编辑提供了解决这个问题的方法。它可以找到here。（寻找627A的解决方案）

问题在于我无法理解解决方案。根据我的总结，他们使用了这样的公式，
（如果有两个数字a和b）那么， a+b = (a XOR b) + (a AND b)*2

我如何到达那个？其余的步骤对我来说不清楚。

如果有人能就如何解决这个问题或解释他们的解决方案提出想法，请帮助。

Answer 1

将a+b = (a XOR b) + (a AND b)*2想象为进行二进制加法时会发生什么。在您的示例中，a = 010和b = 111：

 010
 111
 ---
1001 = 101 + 100

对于每个位，您添加来自a和b（0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0的位，这正是a XOR b 加上来自前一次加法的进位位，即如果a和b的前两位都是1，那么我们也将其添加。正是(a AND b)*2。（请记住乘以2是左移。）

使用该等式，我们可以计算a AND b。

现在要计算你想要的数字，我们逐个查看a XOR b和a AND b的每个位，并将所有可能性相乘。（让我为a[i]的{{1}}编写i

如果a和a[i] XOR b[i] = 0，则a[i] AND b[i] = 0。这个位只有一种可能性。
如果a[i] = b[i] = 0和a[i] XOR b[i] = 0，则a[i] AND b[i] = 1。这个位只有一种可能性。
如果a[i] = b[i] = 1和a[i] XOR b[i] = 1，则a[i] AND b[i] = 0和a[i] = 1，反之亦然。两种可能性。
无法b[i] = 0和a[i] XOR b[i] = 1。

从您的示例a[i] AND b[i] = 1和a XOR b = 101开始。我们得到了答案a AND b = 010。

Answer 2

a AND b是两个数字中的位。所以这些都是总和的两倍。 a XOR b是仅存在于其中一个数字中的位，因此这些数字只应在总和中计算一次。

以下是一个例子：

a = 4 = 1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 (or just 100)
b = 13 = 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 (or just 1101)
a + b = (1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0) + (1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0) = 1*2^3 + 2*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0

请注意最后一行中两个数字（2^2）中的位如何在总和中计算两次，而其余位只计算一次！

要解决您的问题，您需要找到所有对（a，b）加起来的总和。你想要做的是：

从SUM中减去XOR值。您将离开2*(a AND b)。
除以2.您现在拥有应在a和b中设置的所有位。
由于您具有XOR值，因此您确切地知道应该在 a和b的一个中设置哪些位，而您刚刚计算的AND值是应该在中设置的位。 他们。因此，您列出了分别在a或b中设置位的所有排列。

继续上一个例子：

我们将这些排列作为解决方案：