Question

给定长度为S的字符串（仅假设英文字符）n，我们可以使用以下算法计算回文子串的数量：

for i = 0 to |S| do
    p1 = number of palindromes centered in i (odd length)
    p2 = number of palindromes centered in i and i+1 (even length)

    add p1 + p2 to total number of palindromic substrings of S

上面的代码是O(n^2)。

我对在O(n)中解决此问题的算法感兴趣。我肯定知道有一个存在，因为我听到有多个人说它确实存在，并且问题存在于1 000 000的{{1}}上限的本地在线评判网站上，但是我已经从未见过算法，似乎无法想出它。

更新

我的一般想法是为偶数长度的回文计算n和类似的数组。通过良好的簿记，应该可以在len[i] = length of the longest palindrome centered at the character 2i + 1中为每个角色计算一次，这样我们就可以同时计算很多回文。然而，我仍然坚持如何计算这一点。

我会接受使用O(1)甚至O(n)额外内存的解决方案。我想如果没有它，这是不可能的。

赞赏任何好的想法或参考。

Answer 1

以下网站显示了在O（n）时间内计算最长回文子串的算法，并通过计算每个可能中心的最长回文子串然后取最大值来实现。因此，您应该可以根据自己的需要轻松修改它。

http://www.akalin.cx/2007/11/28/finding-the-longest-palindromic-substring-in-linear-time/

编辑：经过仔细检查，第一个链接看起来有些不稳定，所以这是另一个链接：

http://zhuhcheng.spaces.live.com/Blog/cns!DE38E96268C49F28!311.entry?wa=wsignin1.0&sa=707413829

Answer 2

对于“普通”字符串，将每个字符视为回文的潜在“中心”然后检查周围的字符是否实际构建一个字符应该是相当有效的：

# check odd palindromes
for center in range(len(ls)):
   # check how many characters to the left and right of |center|
   # build a palindrome
   maxoffs = min(center, len(ls)-center-1)
   offs = 0
   while offs <= maxoffs and ls[center-offs] == ls[center+offs]:
      offs += 1
   offs -= 1
   print ls[center-offs : center+offs+1]                                    

# check for even palindromes
for center in range(len(ls)-1):
   maxoffs = min(center, len(ls)-center-2)
   offs = 0
   while offs <= maxoffs and ls[center-offs] == ls[center+offs+1]:
      offs += 1
   offs -= 1
   if offs >= 0:
      print ls[center-offs : center+offs+2]

对于普通字符串，这应该是O（n），尽管在最坏的情况下，例如，如果字符串只包含一个重复的一个字符，它仍然需要O（n ²

Answer 3

考虑一个字符串S="aaabb"。

在字符串的两端和每两个连续字符之间附加一个字符'$'，将字符串更改为S="$a$a$a$b$b$"，并为此字符串S应用Manacher's algorithm。

新字符串S的长度为2n + 1，它为运行时提供O（2n + 1），与O（n）相同。

index :  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A     :  1 3 5 7 5 3 1 3 5  3  1
S     :  $ a $ a $ a $ b $  b  $

数组A是Manacher算法的结果。

现在，A[i]/4的索引总和为'$'，其他(A[i]+1)/4为1＆lt; = i＆lt; = n的每个其他字符的答案。

这里，$充当偶数长度的悬崖子串的中心，奇数长度可以正常计算。这个案子的答案是：

0 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 9（a，a，aaa，a，b，b，aa，aa，bb）。

计算O（n）中的回文子串

3 个答案: