如何优化此计算

Question

我正在编写一个模型检查器，它依赖于算法的计算，该系统由以下算法密集使用：

！[alt text] [1]

其中q为double，t为double，k为int。 e代表指数函数。此系数用于以下步骤：q和t不变，而k始终从0开始，直到所有先前系数（该步骤）的总和达到1。

我的第一个实现是文字的：

let rec fact k =
  match k with
    0 | 1 -> 1
    | n -> n * (fact (k - 1))

let coeff q t k = exp(-. q *. t) *. ((q *. t) ** (float k)) /. float (fact k)

当然，这并没有持续太久，因为当k超过一个小门槛（15-20）时，计算整个阶乘是不可行的：显然结果开始变得疯狂。所以我通过增量划分来重新安排整个事情：

let rec div_by_fact v d =
  match d with
    1. | 0. -> v
    | d -> div_by_fact (v /. d) (d -. 1.)

let coeff q t k = div_by_fact (exp(-. q *. t) *. ((q *. t) ** (float k))) (float k)

当q和t足够'正常'但事情变得奇怪时，例如q = 50.0和t = 100.0并且我开始从k = 0 to 100我得到的是一系列0，后跟一定数量的NaN直到结束。

当然，这是由数字开始接近0或类似问题的操作引起的。

您是否知道我如何优化公式，以便能够在广泛的输入范围内提供足够准确的结果？

一切都应该是64位（因为我使用的是默认使用双精度的OCaml）。也许有一种方法可以使用128位双打，但我不知道如何。

我正在使用OCaml，但你可以用你想要的任何语言提供想法：C，C ++，Java等。我很好地使用了它们。

Answer 1

qt^k/k! = e^[log[qt^k/k!]]
log[qt^k/k!] = log[qt^k] - log[k!] // log[k!] ~ klnk - k  by stirling
             ~ k ln(qt) - (k lnk - k)
             ~ k ln(qt/k) - k

对于小的k值，斯特林近似不准确。 但是，由于您似乎在进行有限的已知范围，因此您可以计算log[k!]并将其放入数组中，从而避免任何错误。

当然，您可以进一步做出多种变化。

Answer 2

这不是一个答案（我相信），但这只是一个澄清。如果我误解了某些内容，我会在你发表评论后将其删除。

据我了解，您正在尝试计算n，例如以下总和等于1.

正如你可能看到渐近地接近1，它永远不会等于1。 如果我误解了你的问题，请纠正我。