Question

我想知道是否有一种很好的方式（最好使用JuMP）来获得线性程序的所有最佳解决方案（如果有多个最佳解决方案）。

一个例子

最小化两个概率分布之间的统计距离（Kolmogorov距离）。

min sum_{i=1}^{4} |P[i] - Q[i]| over free variable Q
P = [0.25,0.25,0.25,0.25]
sum_i P[i] = 1
Q[1] + Q[4] = 1
sum_i Q[i] = 1 -> Q[2],Q[3] = 0

注意我们可以将优化表示为线性程序，目标变为

min S >= sum_i S[i]
S[i] >= P[i]-Q[i]
S[i] >= Q[i]-P[i]

此问题没有唯一解决方案，而是最佳解决方案的子空间跨越

Q1 = [0.75,0,0,0.25]
Q2 = [0.25,0,0,0.75]

两者的最小距离均为0.5，这两种解决方案的任何凸组合都是最优的。

我想知道是否有一种很好的方法可以找到所有这些最佳极值点（跨越最佳子空间的点）？

为什么我对此感兴趣;给出最大Bhattacharyya coefficient（凹函数）的点位于静态距离的最佳子空间的中间。

到目前为止，我试图找到最佳的P，Q对（参考我给出的例子），通过使算法有利于通过向此增加1.001的权重来缩小P [i]，Q [i]之间的距离。总和中的期限。它似乎在某种程度上起作用，虽然我几乎无法确定。

Answer 1

有一种有趣的方法可以使用标准MIP求解器枚举所有可能的最佳LP解决方案（或者更确切地说，所有最佳LP基础）。基本上算法是：

step 1. solve LP/MIP
step 2. if infeasible or if objective starts to deteriorate: stop
step 3. add cuts (constraints) to the model to forbid current optimal solution
step 4. goto step 1

有关示例，请参阅here。

Answer 2

LP解算器并非旨在枚举所有最佳解决方案。一旦知道最佳目标值，就可以定义包含所有最优解的多面体，然后使用顶点枚举算法来收集该多面体可能非常大的极值点集。所有最优解都是这些极值点的凸组合。来自Julia，您可以将wrapper用于cdd。

Answer 3

我不知道julia，但是有一个名为PPL的工具可以用来确定解决线性程序后解决方案polyedron的所有顶点。

在这里看到我的回答类似的问题： Find all alternative basic solutions using existing linear-programming tool

线性规划：找到所有最佳顶点

3 个答案: