Question

我希望在精益定理证明中证明this theorem。首先，我需要定义像部分有序集这样的东西，以便我可以定义infimum / supremum。这是如何在精益中完成的？ The tutorial提到了setoids，它们是一种类型的相关的等价关系。但我不清楚这有何帮助。

Answer 1

我不是精益用户，但这是我在Agda中定义它的方式。它可能不会直接翻译 - 类型理论有很多种 - 但它至少应该是一个指针！

我们将使用二元逻辑关系，这是这种同义词的居民：

Rel : Set -> Set1
Rel A = A -> A -> Set

我们需要命题平等：

data _==_ {A : Set} (x : A) : A -> Set where
  refl : x == x

可以说逻辑关系对reflexive，antisymmetric和transitive意味着什么。

Refl : {A : Set} -> Rel A -> Set
Refl {A} _~_ = {x : A} -> x ~ x

Antisym : {A : Set} -> Rel A -> Set
Antisym {A} _~_ = {x y : A} -> x ~ y -> y ~ x -> x == y

Trans : {A : Set} -> Rel A -> Set
Trans {A} _~_ = {x y z : A} -> x ~ y -> y ~ z -> x ~ z

要成为部分订单，必须全部三个。

record IsPartialOrder {A : Set} (_<=_ : Rel A) : Set where
  field
    reflexive : Refl _<=_
    antisymmetric : Antisym _<=_
    transitive : Trans _<=_

poset只是一个配有部分排序关系的集合。

record Poset : Set1 where
  field
    carrier : Set
    _<=_ : Rel carrier
    isPartialOrder : IsPartialOrder _<=_

对于记录（哈哈），以下是本教程中的setoid示例如何转换为Agda：

Sym : {A : Set} -> Rel A -> Set
Sym {A} _~_ = {x y : A} -> x ~ y -> y ~ x

record IsEquivalence {A : Set} (_~_ : Rel A) : Set where
  field
    reflexive : Refl _~_
    symmetric : Sym _~_
    transitive : Trans _~_

record Setoid : Set1 where
  field
    carrier : Set
    _~_ : Rel carrier
    isEquivalence : IsEquivalence _~_

更新：我安装了Lean，犯了大量语法错误，并最终达到了这个（可能不是惯用，但直截了当）翻译。函数变为definition s，record变为structure s。

definition Rel (A : Type) : Type := A -> A -> Prop

definition IsPartialOrder {A : Type}(P : Rel A) :=
  reflexive P ∧ anti_symmetric P ∧ transitive P

structure Poset :=
  (A : Type)
  (P : Rel A)
  (ispo : IsPartialOrder P)

我正在使用我在Agda上面定义的反身性（等）定义的built-in versions。我还注意到Lean似乎很高兴让我在Type的返回类型中省略Rel的宇宙级别，这是一个很好的接触。

Answer 2

精益的标准库已包含various orders的定义。但是，对于实际的inf和sup的{{3}}定义，我认为还没有（或适用的一般定义，因为这些类型都不是complete_lattice）。

如何在精益中定义部分有序集？

2 个答案: