求解方程组以获得所需的阶跃响应

Question

我需要在以下等式中获得a，b和c的值，以便系统的阶跃响应与下图的匹配。

x_dot = a*x + b+u;
y = c*x;

其中x_dot是x的第一个导数。

我一直试图通过Matlab实现这一目标，到目前为止已经实现了以下目的，仅使用a，b和c的任意值进行测试：

clc;
close all;
clear all;

a=1;
b=2;
c=3;

tspan = [0:0.01:12];

x_dot = a*x+b*xu;
x = (a*x^2)/2 + b*u*x;
y = c*x;

f = @(t,x) [a*x(1)+b*x(2); c*x(1)];
[t, xa] = ode45(f,tspan,[0,0]);

plot(t,xa(:,1));

Answer 1

这肯定听起来像已经暗示的参数估计问题。您希望最小化使用ode建模的结果与图形中的值之间的误差（将三个参数a，b和c拟合到数据中）。

第一步是编写一个错误函数，该函数获取ode输出值并比较它与数据值的接近程度（例如，最小二乘误差之和）。

然后你必须搜索一系列a，b，c值（可能是一个大的搜索空间）并选择（a，b，c）的集合来最小化你的错误函数（即得到尽可能接近尽可能的图表。

存在许多搜索/优化策略（例如遗传算法/等）。

请注意，参数是实数的元素（包括负值和极大或极小的值），大的搜索空间通常是使这些问题难以解决的原因。                                                                                          另外我认为你必须小心初始条件，例如[0,0]似乎没有带来有趣的结果。 （尝试a = -0.5，b = 0.2和c = -0.00000001，IC为[0,10]如下）

clc;
close all;
clear all;

a=-0.5;
b=0.2;
c=-0.00000001;

tspan = [0:0.01:12];

f = @(t,x) [a*x(1)+b*x(2); c*x(1)];
[t, xa] = ode45(f,tspan,[0,10]);

plot(t,xa);
hold on 
plot(t,4)

这里10是绿线的起点，蓝线从0开始。我还要注意的是IC会改变结果..所以给定IC的a，b，c有很多可能的解决方案。

看起来很有趣..祝你好运。