为什么0x55555556除以3 hack工作？

Question

有一个（相对）众所周知的黑客将32位数字除以3。而不是使用实际昂贵的除法，数字可以乘以幻数0x55555556，结果的高32位是我们正在寻找的。例如，以下C代码：

int32_t div3(int32_t x)
{
    return x / 3;
}

使用GCC和-O2编译，结果如下：

08048460 <div3>:
 8048460:   8b 4c 24 04             mov    ecx,DWORD PTR [esp+0x4]
 8048464:   ba 56 55 55 55          mov    edx,0x55555556
 8048469:   89 c8                   mov    eax,ecx
 804846b:   c1 f9 1f                sar    ecx,0x1f
 804846e:   f7 ea                   imul   edx
 8048470:   89 d0                   mov    eax,edx
 8048472:   29 c8                   sub    eax,ecx
 8048474:   c3                      ret 

我猜测sub指令负责修正负数，因为如果参数是负数，它的作用基本上是加1，否则它是NOP。

但为什么这有效吗？我一直试图手动将较小的数字乘以这个掩码的1字节版本，但我看不到一个模式，我无法在任何地方找到任何解释。它似乎是一个神秘的幻数，其起源并不为任何人所知，就像0x5f3759df一样。

有人能解释一下这背后的算法吗？

Answer 1

这是因为0x55555556确实是0x100000000 / 3，向上舍入。

四舍五入很重要。由于0x100000000不均匀地除以3，因此完整的64位结果将出错。如果该错误为负，则截断低32位后的结果将太低。通过向上舍入，错误是正的，并且它全部在低32位，因此截断将其消除。