coq（或一般）中的定理是否可以在不使用先前已证明的引理的情况下得到证实？

Question

鉴于coq中的证明只是高度复杂的函数，可以用各种方式构建，似乎有意义的是，每个定理都存在一个coq证明，既不涉及先前已证实的定理，也不会{{1语句。

例如，证明自然数加法的交换性很简单，没有任何引理，即使它可以通过引理更简单：

//
//  Use this file to import your target's public headers that you would like to expose to Swift.
//
#import "ClassIWantToTest.h"
#import "ClassIWantToTest+Internals.h"

但是当我尝试为乘法的交换性做同样的事情时，我不可避免地遇到需要关于加法的事实的情况。

assert

为什么？

Answer 1

Coq的逻辑享有cut-elimination，这意味着任何涉及中间引理的证明（即带有β重新索引的lambda项）都可以通过约简算法转换为直接证明（即一个术语）正常形式）。

然而，这可能是以指数性爆炸为代价的：例如：减少power 2 100（如应用于power和2的函数100将从大小为{{1}的术语开始生成大小为2 ^ 100的字词}）。

如果您正在尝试编写校对搜索算法，您可能需要查看聚焦。鉴于你似乎想要专注于归纳证明，你可能想看看Boyer＆amp;摩尔的证明。

Answer 2

当然，只要有这样一个证据证明你留下的目标m + (n + m * n) = n + (m + m * n)，就有一个没有引理或断言的证据。这是一个，虽然它不是很清楚：

remember (m*n) as o.
clear.
generalize dependent o.
generalize dependent m.
induction n; simpl; try reflexivity.
simpl.
intros m o.
rewrite <- (IHn m o).
remember (n+o) as p.
clear.
generalize dependent p.
induction m; simpl; try reflexivity.
intros p; rewrite (IHm p).
reflexivity.

你为什么“需要”一个引理的问题可以从另一个角度看待：

看看这个乘法交换性的证明。它的一个证明是关于加法的这个有趣的事实，你可以在不改变值的情况下改变括号。这似乎在其他证明中显示出来了！也许这个事实对于打包一个名字是有用的。然后我们可以一遍又一遍地参考它，读者会明白我们在谈论什么，每次都不需要新的证明。

让我们称辅助事实为“引理”。我们将调用它的过程并给它命名为“重构”。