Question

我正试图证明Monad法则（左右单位+相关性）为继续传球风格（CPS）Monad。

我正在使用https://coq.inria.fr/cocorico/AUGER_Monad中基于类型类的Monad定义：

Class Monad (m: Type -> Type): Type :=
  {
    return_ {A}:     A -> m A;
    bind    {A B}:   m A -> (A -> m B) -> m B;

    right_unit {A}:  forall (a: m A), bind a return_ = a;
    left_unit  {A}:  forall (a: A) B (f: A -> m B),
                       bind (return_ a) f = f a;
    associativity {A B C}:
                     forall a (f: A -> m B) (g: B -> m C),
                       bind a (fun x => bind (f x) g) = bind (bind a f) g
}.

Notation "a >>= f" := (bind a f) (at level 50, left associativity).

CPS类型构造函数来自Ralf Hinze的Functional Pearl关于Haskell中的Compile-time parsing

Definition CPS (S:Type) := forall A, (S->A) -> A.

我定义了bind和return_这样的

Instance CPSMonad : Monad CPS  :=
  {|
    return_ := fun {A} a {B} => fun (f:A->B) => f a ;
    bind A B := fun (m:CPS A) (k: A -> CPS B)
      =>(fun C => (m _ (fun a => k a _))) : CPS B

  |}.

但我仍然坚持right_unit和associativity的证明义务。

- unfold CPS; intros.

赋予right_unit：

的义务

  A : Type
  a : forall A0 : Type, (A -> A0) -> A0
  ============================
   (fun C : Type => a ((A -> C) -> C) (fun (a0 : A) (f : A -> C) => f a0)) = a

非常感谢您的帮助！

编辑：AndrásKovács指出类型检查器中的eta转换已经足够，因此intros; apply eq_refl.或reflexivity.就足够了。

首先，我必须更正bind的错误定义。（隐形参数c位于) ...

的错误一侧

Instance CPSMonad : Monad CPS  :=
  {|
    return_ S s A f     := f s ;
    bind    A B m k C c := m _ (fun a => k a _ c)
  |}.

Answer 1

正如comment András Kovács于3月11日12:26提到的解决方案

也许你可以尝试直接反思？从Coq 8.5开始，对记录进行了eta转换，因此所有定律都应该通过标准化和eta转换立即显现出来。

这给了我们以下实例：

Instance CPSMonad : Monad CPS  :=
  {|
    return_       S s A f :=     f s ;
    bind          A B m k C c := m _ (fun a => k a _ c) ;
    right_unit    A a :=         eq_refl ;
    left_unit     A a B f :=     eq_refl ;
    associativity A B C a f g := eq_refl
  |}.

在Coq中证明连续传递样式Monad

1 个答案: