两个下三角矩阵乘法的复杂性

Question

我知道两个完整矩阵乘法的下界是Ω（n ^ 2）。 Matrix multiplication

我一直试图用问题转换方法证明两个下三角矩阵乘法的下界。

我最初的想法是（1）变换下三角矩阵，（2）估计这种变换的时间复杂度。

T(lower_triangular_matrix_multiplication(n))+O(lower_triangular_matrix_transformation(n))>Ω(full_matrix_multiplication(n)) = Ω(n^2)

现在，我只需要证明O(lower_triangular_matrix_transformation(n))，我需要将三角矩阵作为一个完整矩阵，所以为了简单起见，我只是让这个三角矩阵乘以自身的变量，比如转置。

原因是下三角矩阵的平方仍然是下三角矩阵，下三角矩阵乘以其转置变量是“全矩阵”。

所以我只需要分析三角矩阵的复杂性乘以其转置变化。

有人能表明我的想法是否“合理”？

Answer 1

我不相信通过构造算法足以证明下限，因为仍然不能排除存在不同复杂度较低的算法。

很明显，下限不会高于O（n ^ 2），因为一般乘法总是适用于lower_triangle_matrices（ltm）。

现在，由于任意矩阵到一个或多个ltm的任何变换本身就是O（n ^ 2）复杂度的运算，我们可能无法推断出任何这样的算法都不存在。

你的推理概述似乎表明，增加复杂性遵循“正常”的算术规则。事实并非如此！ 由此产生的复杂性始终是（至少）算法部分复杂性的最大值。

所以你的推理似乎不合理。

您可以尝试以下方法之一：

1. 构造一个复杂度较低的算法（证明存在）
   当目标是O（ltm）＆lt;为O（n ^ 2）
2. 找到具有复杂性的转换＆lt; O（n ^ 2）并且产生 LTM。然后任何具有较低复杂度的ltm乘法算法 将为具有复杂性的任意矩阵提供算法 这与你最初的主张相矛盾 然而，这需要转换足够低的复杂性。 如果这不知道。该论点不可用。

对我来说，看起来好像是来自T（）+ O（）＆gt;的步骤。 O（n ^ 2）没有良好的基础。 从这一点来看，只需要证明（O（ltm））的结论就会被打破。

Answer 2

我在想解决方案可能是将A转换为A + A'。 transpose和plus操作的复杂性都是O（n ^ 2）。 因此，O（lower_triangular_matrix_transformation（n））= n ^ 2。 因为A A的下界和（A + A'）（A + A'）中的下界也是Ω（n ^ 2）， T（lower_triangular_matrix_multiplication（n））＆gt;Ω（full_matrix_multiplication（n）） - O（lower_triangular_matrix_transformation（n）），这意味着三角矩阵的下界和全矩阵的下界是相同的。

Q.E.D。